Первый алгоритм Гомори для решения полностью целочисленной задачи линейного программирования

Все алгоритмы Гомори представляют собой реализацию метода отсечений. Каждый дает свое правило построения отсечений.

Пусть – некоторая задача целочисленного программирования и опорный оптимальный план соответствующей задачи линейного программирования не удовлетворяет условию целочисленности .

Определение. Неравенство или (*)

называется правильным отсечением, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. Условие отсечения. не удовлетворяет неравенству (*), т.е.

.

2. Условие правильности. Если  – план задачи , то удовлетворяет неравенству (*), т.е.

Первый алгоритм Гомори предназначен для решения полностью целочисленных задач линейного программирования

(1)

, , (2)

, , (3)

 ‑ целые, . (4)

Пусть  – оптимальный опорный план задачи (1)‑(3). Выразим целевую функцию и все переменные (jN), соответствующие оптимальному опорному плану .

, . (5)

Пусть x – вещественное число. Целой частью x называется наибольшее целое число, не превышающее x. Целая часть x обозначается [x]. Дробной частью x называется число

{x} = x – [x].

Пример:

, , .

Теорема. Пусть

1) , ; (6)

2)  – план задачи (1‑4).

Тогда

– целое (7)

 0. (8)

Замечание. Если все целые числа, то условия теоремы распространяются на случай .

С

()

ледствие. Пусть не удовлетворяет условию целочисленности (4), так что для некоторого  ( )

– нецелое. (**)

Тогда соотношения (6), (8) задают правильное отсечение.

,

  0.

Если гарантируется целочисленность целевой функции , то .

Схема метода отсечений выглядит следующим образом. Имеется задача (1‑4) .

На 0-м этапе отыскивается оптимальный план задачи , которая получается отбрасыванием условия целочисленности, .

Если этот план не является решением , то строится правильное отсечение, отбрасывающее этот план и решается задача , на втором этапе и т.д. … . Оптимальный план вспомогательной задачи линейного программирования определяются неоднозначно, т.к. может иметь много решений. Поэтому Гомори предложил вместо задачи решать l‑задачу . l‑оптимальный план определяется единственным образом.

Вычисления в методе Гомори проводятся в соответствии с l‑методом.

Основной проблемой при использовании методов отсечений является рост числа ограничений. Гомори предложил приём, ограничивающий размеры расширенных симплексных таблиц до

(n + 2)(k + 1)

где n — количество переменных в , а k  – число небазисных переменных в ней.

Этот приём основан на том, что дополнительные ограничения (правильные отсечения)

интересует нас не сами по себе, а только как способ отсечения нецелочисленного оптимума и перехода от задачи к задаче .

Дополнительная переменная (r  0), связанная с правильным отсечением, выводится из базиса сразу же после введения ограничения

  0,

.

Идея Гомори заключается в следующем:

а) Сразу же после вывода   0 из базиса (r  0) соответствующая строка вычёркивается из расширенной симплексной таблицы.

б) Если в ходе дальнейших вычислений  снова попадает в базис, то соответствующая строка в симплексной таблице не восстанавливается и в дальнейших вычислениях не участвует.

Таким образом число столбцов в таблице не превышает k+1 (равно), а число строк – n+2, где n+1 строка соответствует и одна в момент её включения.

Необходимо отметить, что алгоритм Гомори неприменим в следующих случаях:

Если задача имеет решение, но не имеет решения l‑задача , т.е. множество оптимальных планов не пусто, то и не ограничено.