Решение антагонистических игр методами линейного программирования.

На основании теоремы о минимаксе мы знаем, что стратегия , удовлетворявшая условию где – значение игры, является оптимальной для 1-го игрока. Т.е. не существует другой стратегии, которая дала бы ему больший ожидаемый выигрыш, чем , против каждой стратегии игрока 2.

Таким образом, игру с точки зрения 1-го игрока можно записать как задачу линейного программирования:

;

Причём рассматривается как m+1-я переменная, неограниченная по знаку (свободная).

С другой стороны с точки зрения 2-го игрока, он стремится минимизировать значение игры:

;

при

Причём обе эти задачи представляют собой пару двойственных задач линейного программирования:

; – свободная переменная.

; – свободная переменная.

Таким образом, решив одну из двойственных задач, мы определим оптимальные стратегии 1-го и 2-го игроков и значение игры.

Решение методами линейного программирования матричных игр с ограничениями.

Рассмотрим игру, в которой допускаются не все смешанные стратегии. Обычно для этого имеются определённые практические основания. Предположим, что смешанные стратегии и соответственно должны выбираться из некоторых выпуклых многогранников.

Если матрица игры = , то задача игрока 1 состоит в том, чтобы найти , (1)

где два множества X и Y определяются соответственно неравенствами

и

Аналогично задача 2-го игрока состоит в том, чтобы найти (2)

при тех же ограничениях на стратегии игроков.

В выражении (1) величина в скобках, очевидно, является функцией . Точнее она является значением задачи ЛП, целевая функция которой имеет коэффициенты, зависящие от . По теоремам двойственности, если эта задача допустима и ограничена, то две задачи

(3)

и двойственная к ней

(4)

будут иметь одно и то же значение целевой функции. Значит, задача игрока 1 сводится просто к задаче максимизации (5)

Аналогично, можно показать, что задача (2) игрока 2 сводится к задаче минимизации:

. (6)

Задачи (5) и (6) являются двойственными друг к другу. Если эти задачи допустимы, то выражения (1) и (2) будут равны и, таким образом, игра с ограничениями будет иметь решение в смешанных стратегиях.

Решение параметрических задач линейного программирования.

В практических задачах, как правило, ряд исходных параметров имеет не точные значения, а может пробегать некоторый диапазон изменения. Поэтому для обоснования решения задачи необходимо изучить зависимость оптимального решения задачи от вариации некоторых параметров модели.

При проектировании систем, при планировании разработки некоторые параметры могут выбирать с известной свободой. В этом случае полезные рекомендации могут быть получены при использовании аппарата параметрического программирования. Оно также позволяет оценить устойчивость решения по отношению к случайным погрешностям в исходных данных.

Рассмотрим случай, когда от параметра t зависят коэффициенты целевой функции:

а вся задача выглядит следующим образом:

т.е.

(1)

Рассмотрим геометрическую интерпретацию такой модели.

Д ля t = t₀ линии уровня параллельны MN, M₂N₂ соответствует , а M₁N₁ соответствует .

Изменению t от до соответствует поворот MN по часовой стрелке.

При t = t₀ оптимальное решение соответствует т. А. При , решение в т. В, при – в т. С.

Продолжая рассматривать задачу такимобразом, мож­но разбить заданный диапазон изменения t на конечное число частей, каждой из которых соответствует свой оптимальный план.

Совокупность значений параметра t, при которых данный опорный план оптимален, называют множеством оптимальности этого плана.

Для исследования параметрической модели воспользуемся алгоритмом метода последовательного улучшения плана.

Задаемся каким-либо t₀. Если в модели область изменения параметра t ограничена, т.е. , то в качестве t₀ можно взять одну из границ.

После конечного числа шагов придем к оптимальному плану задачи (случай 1⁰), либо убедимся, что целевая функция при данном t₀ не ограничена на допустимой области (задача не разрешима) (случай 2⁰).

Рассмотрим сначала случай 1⁰.

Если мы ищем max линейной формы, то признаком оптимальности опорного плана является неотрицательность коэффициентов строки критерия.

Эти коэффициенты можно представить в виде следующей суммы

, i = 1,…,n.

Так как план оптимален для t = t₀ , i = 1,…,n,

и, следовательно, совместна система неравенств (из неотрицательности коэффициентов)

, i = 1,…,n . (2)

Для всех неравенства системы можно переписать в следующем виде

,

а для всех

.

Введем следующие обозначения

(3)