Теорема о минимаксе. Лемма 1 (об опорной гиперплоскости).

Для любой функции , определенной на произвольном декартовом произведении , имеет место неравенство (1)

Отсюда следует, что . Нижний выигрыш игрока 1 не может превышать верхнего проигрыша игрока 2.

Теорема о минимаксе утверждает, что .

Лемма1. (Теорема об опорной гиперплоскости)

Пусть – замкнутое выпуклое множество в n-мерном евклидовом пространстве, а – некоторая точка, не принадлежащая . Тогда существуют такие числа , что (2) и (3)

(Геометрически это означает, что через точку можно провести гиперплоскость так, что будет лежать целиком «выше» этой гиперплоскости).

Доказательство.

Пусть – такая точка из , расстояние которой от минимально. (такая точка существует, т.к. замкнуто.) Положим

, ,

.

Очевидно, что равенство (2) выполняется, поскольку .

Необходимо показать, что имеет место (3). Мы имеем

и, следовательно,

Поэтому

Допустим, что существует , для которого

Т.к. выпукло, отрезок, соединяющий с , должен целиком содержаться в , т.е. точки этого отрезка

Квадрат расстояния от до имеет вид

Поэтому

При (т.е. при ) имеем

.

Здесь первое слагаемое по предположению не превосходит , а второе больше . Поэтому .

Отсюда следует, что для , достаточно близких к нулю

.

Но это противоречит выбору . Следовательно, для любых условие (3) должно выполняться.

Теорема о минимаксе. Лемма 2.

Для любой функции , определенной на произвольном декартовом произведении , имеет место неравенство (1)

Отсюда следует, что . Нижний выигрыш игрока 1 не может превышать верхнего проигрыша игрока 2.

Теорема о минимаксе утверждает, что .

Лемма 2. (Теорема об альтернативах для матриц). Пусть , матрица . Тогда справедливо либо утверждение 1, либо утверждение 2.

1. Точка (в m-мерном пространстве) содержится в выпук­лой оболочке m + n точек

………………

и

,

,

………………

.

2. Существуют числа , удовлетворяющие условиям

, , , .

Доказательство. Предположим, что 1 неверно. Т.е. точка не содержится в выпуклой оболочке этих m + n точек.

На основании леммы 1 существуют такие числа , что

.

Отсюда следует, что и для всех в указанном выпуклом множестве. В частности это выполняется, если является любым из m+n векторов , . Поэтому

,

.

Так как , получаем , и можно положить .

Следовательно, , , .

Лемма доказана.

Доказательство теоремы о минимаксе

, где – столбец, а – строка матрицы .

Доказательство. Пусть – матричная игра.

По лемме 2 имеет место либо утверждение (1): Точка (в m-мерном пространстве) содержится в выпук­лой оболочке m + n точек

………………

и

,

,

………………

либо утверждение (2): Существуют числа , удовлетворяющие условиям

, , , .

Если верно (1), то является выпуклой линейной комбинацией m+n векторов. Поэтому существуют такие , …, , что

Если бы все числа , …, были равны нулю, то оказывался бы выпуклой линейной комбинацией m единичных векторов , ,…, , что, очевидно, невозможно, т.к. они линейно независимы. Следовательно, по крайней мере одно из чисел , …, положительно и Тогда можно положить ,

и мы получаем

Значит, и

Предположим теперь, что верно утверждение (2):

.

Тогда, так что

Следовательно, неравенство не может иметь места. Предположим теперь, что мы изменили игру А, заменив её на игру , где .

Ясно, что для любых ,

Поэтому

Так как неравенство

не может иметь места, то неравенство

также не выполняется. Но k – произвольно. Значит, неравенство невозможно. Так как , то ,

что и требовалось доказать.

Т.о., мы видим, что при использовании смешанных стратегий нижний выигрыш игрока 1 в точности равен верхнему проигрышу игрока 2. Общая величина V этих двух чисел называется значением игры.

Мы видим, что стратегия , удовлетворяющая условию

(4)

является оптимальной для игрока 1 в том смысле, что не существует стратегии, которая дала бы ему больший ожидаемый выигрыш, чем , против каждой стратегии игрока 2.

Обратно, если удовлетворяет условию

(5)

то является оптимальной для игрока 2 в том же смысле.

Далее, очевидно, что , т.к. если бы правая часть этого равенства была меньше левой, то это противоречило бы (5), а если бы она была больше левой – это противоречило бы (4). Следовательно, оптимальные стратегии и являются также оптимальными одна против другой, а также против любой иной оптимальной стратегии.

Будем называть любую пару оптимальных стратегий ( , ) – решением игры.