8. Интегрирование тригонометрических выражений.
Для
нахождения интегралов вида
,
где
- рациональная функция, используют
универсальную тригонометрическую
подстановку
.
Тогда
.
То есть подынтегральная функция приобретает вид:
Например,
возьмем интеграл
.
Для этого введем новую переменную
.
Тогда, как было показано выше
и
.
Подставим эти значения в искомый
интеграл:
Пример
6.
Взять интеграл
.
Введем аналогичную замену переменных:
Частные случаи.
1. Интегралы вида
.
При
этом делаем замену
.
Тогда
2.
Интегралы вида
,
где
и
натуральные числа.
Данные
интегралы находятся с помощью
тригонометрических формул
,
,
,
если
и
– четные.
Если хотя бы одно из чисел и - нечетное, то от нечетной степени отделяется множитель и вводится новая переменная:
При
этом, если интеграл имеет вид
,
то
замена переменных:
.
Если
интеграл имеет вид
то
замена переменных:
.
Пример 7.
Взять интеграл
.
Замена переменных
.
Тогда
.
Наш интеграл примет вид:
Пример 8.
Взять интеграл
.
Преобразуем подынтегральное выражение:
Косинус внесем под знак дифференциала, подынтегральную функцию преобразуем к следующему виду:
Возведем в куб подынтегральную функцию:
Сделаем замену переменных
и проинтегрируем:
Вернемся к старой переменной:
Пример 9.
Взять интеграл
.
Преобразуем подынтегральное выражение:
Возведем в куб:
Используем правило: интеграл от суммы равен сумме интегралов.
Сделаем преобразования под интегралами.
Возьмем уже "готовые" интегралы, а остальные преобразуем дальше
Сделаем дальнейшие преобразования
Взяв все интегралы, получим:
Перегруппировывая, получим:
Пример 10.
Взять интеграл
.
Преобразуем подынтегральное выражение
В первом интеграле учтем,
что
Во втором интеграле учтем,
что
Интеграл от суммы равен сумме интегралов
Учтем еще раз, что
Интеграл от суммы равен сумме интегралов
Далее
Окончательно
.
Используя известное тригонометрическое тождество
можно упростить взятие некоторых интегралов.
Например :
9. Интегрирование иррациональных выражений.
1. Интегралы вида
Пусть
– общий знаменатель
.
Тогда эффективна замена
переменных:
2. Интегралы вида
Пусть – общий знаменатель .
Тогда эффективна замена
.
Пример 12.
Взять интеграл
.
Сделаем замену:
.
Выразим через :
Найдем дифференциал :
В результате чего наш интеграл примет вид:
Выполним преобразования:
Подынтегральное выражение представим в виде суммы элементарных дробей:
Аналогично предыдущему примеру, запишем выражение для определения коэффициентов
Возведем в квадрат скобки:
Перемножим скобки
Приведем подобные члены
Перегруппируем по степеням
Для определения коэффициентов получили систему
Упростим третье уравнение
Преобразуем полученную систему
Решая ее, получим выражения для коэффициентов
Подставим найденные значения коэффициентов в наше уравнение
Проинтегрировав, получим:
Возвращаемся к "старой" переменной
Упростим получившееся выражение
.
Интегрирование рациональных функций, т.е интегрирование выражений вида:
В зависимости от конкретного вида выражения, существуют разные способы интегрирования.
1. Выделение полного квадрата
2. Тригонометрические замены.
FVB