8. Производные высших порядков.

Дана функция . Пусть эта функция имеет непрерывные частные производные и . В этом случае эти производные сами являются функциями и могут иметь производные. То есть производные от производных. Это будут уже производные второго порядка. При этом возможны следующие виды производных второго порядка.

В случае двух переменных вторая и четвертая производные равны между собой, хотя в общем случае это не всегда верно.

Например, для функции найти частные производные второго порядка.

Находим первые производные.

Находим вторые производные

Действительно, мы видим, что смешанные производные равны друг другу и результат не зависит от порядка дифференцирования.

Теорема.

Дана функция непрерывная в окрестности . Ее производные , , , также непрерывны в .

Доказать: .

Доказательство: Дадим приращения . Введем функции

и

.

При этом вспомогательные функции получат приращения

Из этих выражений следует, что .

С другой стороны, согласно теореме Лагранжа о среднем, приращение функций представим в виде:

Так как равны левые части, то должны быть равными и правые

Откуда

Так как , то .

Аналогичным образом можно доказать, что .

9. Экстремумы функции нескольких переменных.

Максимумом (минимумом) функции в точке называется такое ее значение , которое больше (меньше) всех других ее значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точке и отличных от нее.

Необходимое условие экстремума.

В точках экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных частные производные ее равны нулю. Если - точка экстремума дифференцируемой функции , то

Из этой системы уравнений находятся так называемые стационарные точки. Эта система эквивалентна одному уравнению

Достаточные условия экстремума.

Пусть - стационарная точка.

1) если

то - максимум функции .

2) если

то - минимум функции .

Эти условия эквивалентны следующим: пусть

и

тогда:

1) если , то функция имеет экстремум в точке : максимум при (или ), минимум при (или );

2) если то экстремума в точке нет.

Пример 3.

Исследовать функцию: на экстремумы.

Находим стационарные точки

Точка получилась одна: .

Находим вторые производные:

Находим :

Следовательно, стационарная точка - точка минимума.

10. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа

Если разыскивается экстремум функции многих переменных, которые связаны между собой одним или несколькими уравнениями (число уравнений должно быть меньше числа переменных), то говорят об условном экстремуме. При решении задачи можно пользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа.

Чтобы найти условный экстремум функции при наличии уравнения связи , составляют функцию Лагранжа

где - неопределенный постоянный множитель, и ищут ее экстремум. Необходимое условие экстремума выражается системой трех уравнений с тремя неизвестными :

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа

для испытуемой системы значений при условии, что и связаны уравнением

Функция имеет условный максимум, если , и условный минимум, если .