29. Идеальный газ в поле тяготения. Барометрическая формула. Распределение Больцмана для частиц во внешнем потенциальном поле и его экспериментальное подтверждение.

Для определенности в качестве внешней силы возьмем хорошо известную силу тяжести mg. Под действием внешней силы механическая система частиц приобретает импульс и перемещается как целое поступательно в направлении силы. В идеальном газе, находящемся во внешнем поле сил, каждая отдельная частица приобретает импульс в направлении силы, а также соответствующую потенциальную энергию. Однако в газе наряду с упорядоченным движением в направлении действия силы существует хаотическое тепловое движение. В результате конкуренции между этими двумя типами движений возникает неравномерное распределение макроскопических параметров: плотности частиц, давления, температуры по объему, занимаемому газом.

Рассмотрим столб газа сечением S, находящийся при постоянной температуре в поле силы тяжести. Выделим слой газа толщиной dz на высоте z и вычислим давление газа на его основания. Давление слоя газа на верхнее и нижнее основания слоя разное — оно различается в результате действия силы тяжести. Очевидно, разность давлений равна весу газа, заключенного в слое, отнесенному к единице площади основания столба.

   

Пусть разность давлений есть dP. Давление газа с ростом высоты уменьшается, поэтому dP равно весу слоя со знаком минус. Вес газа в объеме слоя dV = dz·S равен ρ·g·dV, где ρ — плотность газа, g — ускорение силы тяжести. Таким образом,

dP = ‑ρ·g·dV/S = ‑ρ·g·dz.                                                          

По определению . Выразим отношение N/V с помощью уравнения состояния (2.7), после чего находим:

.                                                                   

Интегрируя это соотношение, получим , где P₀ — константа, определяемая пределами интегрирования. Окончательно имеем:

.                                            (2.9)

Здесь P₀ — давление при z = 0. т. е. у основания столба. Аналогично с высотой изменяется и плотность частиц

.                                                   (2.10)

Давление и плотность газа распределены по объему газа неоднородно, они принимают максимальные значения у основания столба и убывают с высотой.

Величина, входящая в показатель экспоненты в формулах (2.9) и (2.10), есть потенциальная энергия частицы в поле тяжести U = mgz-Таким образом, распределение молекул в произвольном потенциальном внешнем поле, в котором частицы обладают потенциальной энергией U(r), может быть описано формулой:

.                                                (2.11).

Эта формула называется распределением Больцмана. Здесь n₀ — плотность частиц в точках пространства, для которых потенциальная энергия принята равной нулю.

Согласно распределению Больцмана число частиц, обладающих определенными значениями потенциальной энергии определяется отношением величины потенциальной энергии U к тепловой энергии частицы k_БT. Чем больше энергия теплового движения, тем более разупорядочена система частиц, значит, тем более однородно распределены частицы в пространстве. В самом деле, если k_БT >> U, ,

и из формулы (2.11) следует, что n = n₀ при любом значении U. В случае k_БT << U распределение частиц максимально упорядочено: плотность частиц максимальная состоянии с минимальной потенциальной энергией U_min, в то время как плотность частиц в других состояниях равна нулю.