Точная формулировка
Условия:
или
;
и
дифференцируемы
в проколотой окрестности
;
в
проколотой окрестности
;существует
,
тогда существует
.
Пределы также могут быть односторонними.
Отношение бесконечно малых
Докажем теорему для
случая, когда пределы функций равны
нулю (то есть неопределённость вида
).
Поскольку мы рассматриваем
функции
и
только
в правой проколотой полуокрестности
точки
,
мы можем непрерывным
образом их доопределить в этой
точке: пусть
.
Возьмём некоторый
из
рассматриваемой полуокрестности и
применим к отрезку
теорему
Коши. По этой теореме получим:
,
но
,
поэтому
.
Дальше, записав
определение предела
отношения производных
и обозначив последний через
,
из полученного равенства выводим:
для
конечного предела и
для
бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
Билет 40
Точная формулировка
Условия:
или ;
и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
в проколотой окрестности ;
существует ,
тогда существует .
Пределы также могут быть односторонними.
Отношение бесконечно больших
Докажем теорему для
неопределённостей вида
.
Пусть, для начала,
предел отношения производных конечен
и равен
.
Тогда, при стремлении
к
справа,
это отношение можно записать как
,
где
—
O(1).
Запишем это условие:
.
Зафиксируем
из
отрезка
и
применим теорему
Коши ко всем
из
отрезка
:
,
что можно привести к следующему виду:
.
Для
,
достаточно близких к
,
выражение имеет смысл; предел первого
множителя правой части равен единице
(так как
и
—
константы,
а
и
стремятся
к бесконечности). Значит, этот множитель
равен
,
где
—
бесконечно малая функция при стремлении
к
справа.
Выпишем определение этого факта,
используя то же значение
,
что и в определении для
:
.
Получили, что отношение
функций представимо в виде
,
и
.
По любому данному
можно
найти такое
,
чтобы модуль разности отношения функций
и
был
меньше
,
значит, предел отношения функций
действительно равен
.
Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
.
В определении
будем
брать
;
первый множитель правой части будет
больше 1/2 при
,
достаточно близких к
,
а тогда
.
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Билет 41
Формула Тейлора
(Rn(x) - остаточный член формулы Тейлора).
Остаточный член формулы Тейлора
В форме Лагранжа:
В форме Коши:
В форме Пеано:
при
Многочлен Тейлора порядка n
Билет 42
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:
Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.
Билет 43
График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый. Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем
на графике функции y
= f(x)
произвольную точку M0
с абсциссой x0
(a;
b)
и проведем через точку M0
касательную. Ее уравнение
|
|
.
Мы должны показать, что график функции
на (a;
b)
лежит ниже этой касательной, т.е. при
одном и том же значении x
ордината кривой y
= f(x)
будет меньше ордината касательной.
Итак,
уравнение кривой имеет вид y
= f(x).
Обозначим
ординату
касательной, соответствующую абсциссе
x.
Тогда
.
Следовательно, разность ординат кривой
и касательной при одном и том же значении
x
будет
.
Разность
f(x)
– f(x0)
преобразуем по теореме Лагранжа
,
где c
между x
и x0.
Таким образом,
.
К
выражению, стоящему в квадратных скобках
снова применим теорему Лагранжа:
,
где c1
между c0
и x0.
По условию теоремы f
''(x)
< 0. Определим знак произведения второго
и третьего сомножителей.
Предположим, что x>x0. Тогда x0<c1<c<x, следовательно,
(x
– x0)
> 0 и (c
– x0)
> 0. Поэтому
.
Пусть x<x0, следовательно, x < c < c1 < x0 и (x – x0) < 0, (c – x0) < 0. Поэтому вновь .
Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Теорема 1. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции на некотором интервале отрицательна (положительна), то график функции на данном интервале выпуклый (вогнутый).
Верна и обратная теорема.
Определение 2. Точки, в которой график функции меняет направление выпуклости, называют точками перегиба графика функции.
Точка a является точкой перегиба, а точка c нет, так как в этой точке функция не дифференцируема.
Теорема
2.
(необходимый
признак точки перегиба). Если
точка х0
является точкой перегиба графика дважды
дифференцируемой функции, то в этой
точке вторая производная равна нулю:
=0.
Определение 3. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками второй производной. Если функция имеет точки перегиба, то они могут быть только в критических точках.
Теорема 3 (достаточный признак точки перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через нее вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.
Билет 44
Чтобы найти наклонную асимптоту функции f(x) при x--> к бесконечности любого знака, нужно сначала найти два предела. 1) k=lim (f(x)/x) при x--> к бесконечности. 2) b=lim (f(x)-kx) при x--> к бесконечности. Когда k и b найдены, строим прямую kx+b. Она и будет наклонной асимптотой. Если один из вышеназванных пределов не существует или они бесконечны, то наклонной асимптоты у функции просто нет.
НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ
Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.
Т
еорема.
Прямая y = kx + b служит наклонной
асимптотой при x → +∞ для графика
функции y = f(x) тогда и только
тогда, когда
.
Аналогичное утверждение верно и при x
→ –∞.
Доказательство. Пусть MP –
длина отрезка, равного расстоянию от
точки M до асимптоты. По условию
.
Обозначим через φ угол наклона асимптоты
к оси Ox. Тогда из ΔMNP следует, что
.
Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то
,
но
MN = MK – NK = y - yас = f(x) - (kx+b).
Следовательно, мы можем записать
следующее равенство
.
Так как x → +∞, то должно выполняться
равенство
.
Но при постоянных k и b
и
.
Следовательно,
,
т.е.
.
Если число k уже известно, то
,
поэтому
.
Для доказательства в случае x → –∞ все рассуждения аналогичны.
Докажем обратное утверждение.
Предположим, что существуют пределы,
определяющие числа k и b. Тогда
несложно заметить, что выполняется
равенство
.
Действительно
Следовательно, прямая y = kx + b есть асимптота. Теорема полностью доказана.
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.
Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы
.
Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.