Билет 20

Локальные

• Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .

• Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .

• Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .

• Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .

Билет 21

Первая теорема Вейерштрасса

Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на данном отрезке. Замечание: на интервале функция может быть не ограничена.

.

Доказательство.

Предположим, что непрерывна, но неограниченна: .

По лемме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности можно извлечь частичную последовательность , сходящуюся к пределу :

. По теореме о предельном переходе в неравенстве . Так как

, . Мы пришли к противоречию.

То есть - ограничена. .

Билет 22

(Вторая теорема Вейерштрасса).

Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает свои точные верхнюю и нижнюю грани.

Эта теорема означает, что достигаемые sup и inf означают соответственно max и min функции.

Доказательство.

Докажем, что достигается sup (inf - аналогично). Предположим, что на отрезке . Рассмотрим вспомогательную функцию , которая непрерывна (знаменатель ) и ограничена (по теореме 13.1) на : . , . Таким образом . Но M - наименьшая из верхних граней, а мы пришли к противоречию, т. к. - тоже верхняя грань. Теорема доказана.

Билет 23

Билет 24.

  Теорема 3.11   Пусть  -- непрерывная монотонная функция, , . Тогда обратная к функция непрерывна на отрезке .

        Доказательство.     Во-первых, заметим, что если , , то .

Во-вторых, пусть ; рассмотрим функцию , которая определена при . Очевидно, что  -- непрерывная на функция, поэтому она принимает наименьшее значение в некоторой точке :

Таким образом, если , то , то есть если , то . Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числа найдётся число , такое что при выполняется неравенство . (При этом , , , .) Получили, что функция удовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке ; тем самым доказано утверждение теоремы.     

Билет 25

Суперпозиция непрерывных функций. Теорема. Пусть функция определена в промежутке а функция —в промежутке , причем значения последней функции не выходят за пределы когда изменяется в . Если непрерывна в точке из а непрерывна в соот­ветствующей точке из , то и сложная функ­ция будет непрерывна в точке

Доказательство. Зададимся произвольным числом Так как непрерывна при то по ε найдется такое что

С другой стороны, ввиду непрерывности при . по найдется такое что

По самому выбору числа отсюда следует, далее,

Этим «на языке и доказана непрерывность функции в точке

Например, если степенную функцию представить в виде функции

которая получается от суперпозиции логарифмической и показатель­ной функций, то из непрерывности последних двух функций уже будет вытекать непрерывность степенной функции.

Билет 26