43. Векторное произведение в координатах.

 Если известны координаты векторов   и  , то их векторное произведение находится по формуле:

Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах   и  , вычисляется по формуле:

42. Векторное произведение векторов и его св-ва.

Под векторным произведением двух векторов   и   понимается вектор,   для которого:

-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е.  , где  угол между векторами   и 

-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е. 

-если векторы   неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

 

Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е. 

2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е. 

3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. 

4.Для любых трех векторов    справедливо равенство 

5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов   и  : 

41. Скалярное произведение в координатах

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид:  , где   и  .

44. Смешанное произведение векторов и его св-ва

Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов   называется число, определяемое по формуле:  .

 Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не меняется при циклической  перестановке его сомножителей, т.е.  .

2.При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е.  .

3.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов  :  =0.

4.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е.  .

45. Смешанное произведение в координатах

Если известны координаты векторов  , то смешанное произведение находится по формуле: 

46. Параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости.

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

Где x₀  и y₀ – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой, l,m – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.

Выразив параметр t из параметрических уравнений, получаем канонические:

47. Уравнение прямой проходящей через две заданные точки на плоскости.

Пусть на плоскости даны М₁(х₁у₁) и М₂(х₂у₂). Составим каноническое уравнение прямой, проходящей через эти две точки в качестве направляющего вектора S возьмемM₁M₂

- это уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х₁ у₁) и (х₂, у₂)

48. Уравнение прямой с угловым коэф. Общее уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид  , где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.