37. Разложение определителя по элементам строки (столбца).

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) определителя на их алгебраические дополнения:

,  ;      

или

,  .      

38. Правило Крамера.

Рассмотрим систему уравнений 

На первом шаге вычислим определитель   , его называют главным определителем системы.

Если  , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). Если  , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:  и 

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой  .

Корни уравнения находим по формулам: , 

Решить систему линейных уравнений 

Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой.

В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

;

; 

Ответ:  , 

39. Линейные операции над векторами и их запись.

К линейным операциям над векторами относятся:

1) умножение вектора на число (Произведением вектора a и числа α называется вектор, обозначаемый α∙a. (или наоборот a∙α), модуль которого равен |α a| =|α||a|, а направление совпадает с направлением вектора a, если α>0, и противоположно ему, если α< 0.

2) сложение векторов (Суммой векторов   называется вектор, обозначаемый  , начало которого находится в начале первого вектора a₁, а конец – в конце последнего вектора a_n, ломаной линии, составленной из последовательности слагаемых векторов. Это правило сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае суммы двух векторов оно равносильно правилу параллелограмма)

Прямая е с заданным на ней направлением, принимаемым за положительное, называется осью е.

Линейной комбинацией векторов a_i называется вектор a, определяемый по формуле  , где   – некоторые числа.

Если для системы n векторов a_i равенство

верно только в случае, когда   эта система называется линейно независимой. Если же равенство (1) выполняется для  , хотя бы одно из которых отлично от нуля, то система векторов aі называется линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три компланарных вектора, четыре и более векторов в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.

Три упорядочных линейно независимых вектора ē₁, ē₂, ē₃ в пространстве называется базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис. Любой вектор a в пространстве можно разложить по базису ē₁, ē₂, ē₃, т. е. представить a в виде линейной комбинации базисных векторов: a= xē_{1 +} yē₂ + zē₃, где x, y, z являются координатами вектора a в базисе ē₁, ē₂, ē₃. Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначают такой базис i, j, k, т. е. i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1).

40. Скалярное произведение векторови его св-ва

Скалярное произведение векторов

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.

a*b={a_x*b_x + a_y*b_y + a_z* b_z}

Для произвольных векторов   и любого числа   справедливы следующие свойства:

1)   – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.

2)   – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3)   – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.

переместительное свойство не является справедливым для алгебраических матриц. Неверно оно и для векторного произведения векторов.