26. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некото­ром интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у = f^--1(x) имеет производную [f^--1(x)]', причем

 или 

По условию функция x = f(y) монотонна и дифференци­руема, следовательно, по теореме о существовании обратной функции функция у = f^--1(x) существует, монотонна и непрерывна на соответствующем интервале. Дадим аргументу х приращение Δх¹0. Тогда функция у = f^--1(x) получит приращение Δу, которое в силу ее монотонности отлично от нуля. Так как функция у = f^--1(x) непрерывна, то Δу®0 при Δх®0. Тогда  .

Пользуясь доказанной теоремой, вычислим производные обратных триго­нометрических функций. Для функции у = arcsinx обратной является функция x = siny, которая является в интервале   монотонной и дифференцируе­мой. Ее производная x' = cosy в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому  . Таким образом  .

Аналогично получаются формулы

27. Производная параметрически заданной функции.

Рассмотрим функцию, заданную параметрически: x = φ(t), y = ψ(t). Покажем, что для нахождения производной y'_x, совсем необязательно находить выражение явной зависимости yот x.

Теорема Пусть функция x = φ(t) имеет обратную функцию t = Ф(x). Если функцииx=φ(t), y = ψ(t) дифференцируемы и φ'(t) ≠ 0, тогда

Доказательство

Так как функция x = φ(t) имеет обратную функцию, то формально y можно выразить черезx: y = ψ(Ф (x)). Так как функция x = φ(t) дифференцируема, то, по теореме 5, функция t = Ф(x)также дифференцируема.

Используя правила дифференцирования, получаем 

Теорема доказана.

Аналогичную формулу можно получить и для второй производной y'' x:

Окончательно получаем 

Аналогично можно получить формулы производных любого порядка от функций, заданных параметрически, без нахождения формулы явной зависимости y от x:

Пример. Функция y от x задана параметрически: x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ π. Найти: a) y'_x, b) y''_x.

Решение

28. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема при некотором значении переменной x . Следовательно, в точке xсуществует конечная производная

Тогда по определению предела функции разность

                            (1)

является бесконечно малой величиной при  . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим

                    (2)

(величина   не зависит от  , т. е. остаётся постоянной при  ).

Если  , то в правой части равенства (2) первое слагаемое  линейно относительно  . Поэтому при

оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и  . Второе слагаемое  - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение   стремится к нулю при

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно  частью приращения функции; чем меньше  , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях  (и при  ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью  , т.е.

                (3)

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают

или

Следовательно,

                   (4)

или

             (5)

Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,

- наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

                      (6) или

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении xна величину  .

Пример 1. Найти дифференциалы функций:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  .

Решение. Применяя правила дифференцирования степенной и логарифмической функций, по формуле (7) находим:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  .