Вопрос 3(свойства бесконечно малых последовательностей)

Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Следствие 1. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Вопрос 4. Определение предела последовательности). Число a называется пределом последовательности xn, если

 U(A)  N:  n > N x_n  U(A).

Приведем другое определение предела, которое является эквивалентным первому.

Определение 26 (определение предела последовательности). Число A называется пределом x_n, если

 > 0  N:  n > N |x_n-A |< 

Заметим, что здесь использованы логические символы: квантор всеобщности (вместо слова "для любого") и квантор существования  (вместо слова "найдется").

Предел числовой последовательности обозначается lim_n x_n = A или x_n A при n. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Пример 18. Пусть x_n = 1/n, покажем, что

lim_n1/n = 0.

Для этого запишем определение:

>0  N:  n>N |x_n|<.

То есть 1/n< при n>N=[1/].

Пример 19.

x_n =  .

Доказать, что

lim_n   = 1

 >0  N:  n > N | -1| < . 1/n <  n > 1/ N = [1/] Если  = 1/10 , то N=10 и при n > 10 следует выполнение нужного неравенства.

Выясним геометрический смысл понятия предела последовательности. Расположим члены последовательности x₁,x₂,..., x_n,... на числовой прямой. Неравенство |x_n-A|< равносильно следующему A-  < x_n < A + , которое говорит о том, что члены последовательности x_n попадают в  - окрестность точки A (рис.13). Вне этой  -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Теорема о единственности предела. Если

предел последовательности существует, то он

единственный.

Вопрос 6.

(свойства предела последовательности)

Финально постоянная последовательность сходится.

Если последовательность сходится, то предел единственен.

Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство.

Если x_n = A при n>N, то для любой окрестности U(A) имеем x_n U(A) при n>N, то есть lim _nx_n = A.

Пусть lim_nx_n = A₁ и lim_nx_n = A₂, A₁ A₂, тогда выберем  - окрестности точек A₁, A₂, так чтобы они не пересекались. В качестве  можно взять число  = 1/2|A₁-A₂|. По определению предела  N₁,N₂, что при n>N₁ x_nU(A₁), а при n>N₂ x_n U(A₂). Следовательно, при n> max{N₁,N₂} x_n U(A₁)U(A₂), что невозможно, так как U(A₁) U(A₂) = .

Пусть lim_nx_n = A, положим в определении предела  = 1, тогда  n>N |x_n-A|<1 значит |x_n|<|A|+1. Выберем C>max{|x₁|,...,|x_N|, |A|+1}, тогда получим, что при  n N |x_n|< C.

Вопрос 8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними. Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая величина

Последовательность   называется бесконечно малой, если  . Например, последовательность чисел   — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если  , то  ,  .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция  , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при  .

Последовательность   называется бесконечно большой, если  .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

Свойства бесконечно малых

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

Сравнение бесконечно малых