30. Элементы теории поля.

1.Скалярное поле.

Пусть G – некоторая область на плоскости или в пространстве. Если в каждой точке M из G определена скалярная величина и, то говорят, что в области G задано скалярное поле.

Скалярное поле задается с помощью функции u=F(M), которая называется скалярной функцией.

2.Векторное поле.

Если в каждой точке M из G определен вектор F(M), то говорят, что в области G заданно векторное поле.

Функция F(M), с помощью которой задается векторное поле, называется векторной функцией.

Пример.

Найти векторное поле скоростей v(M) точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью  вокруг оси.

Решение.

 - вектор угловой скорости

r – радиус – вектор точки M

- искомое векторное поле.

3. Потенциальное поле.

Рассмотрим некоторое скалярное поле F(M). Если в каждой точке M из G определен вектор grad F, то поле этого вектора называется потенциальным полем. Само скалярное поле называется при этом потенциалом векторного поля, а вектор, определяющий потенциальное поле, потенциальным вектором, т.е. вектор а(М) потенциальный, если найдется такая скалярная функция F(M), что