1. Числовые ряды. Основные определения.

Опр: Пусть дана бесконечная последовательность u1, u2, u3, …, un, … числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности:

Каждое u – член ряда, un – общий член ряда. Общий член ряда задает правило по которому можно получить любой член ряда.

Пр:

данный ряд – ряд Стирлинга

Опр: n-ой частичной суммой ряда (обозн. Sn) называется сумма первых n членов ряда.

Опр: Ряд (1) называется сходящимся если существует конечный предел n-ой частичной суммы

в противном случае ряд называется расходящимся.

2. Необходимое условие сходимости знакоположи-тельных рядов. Признак Даламбера и радикальный признак Коши.

Необходимыи признак: если

Примечание: этот признак явл. Необходимым но недостаточным.

Пр.

но ряд расходящийся.

Следствие: Если

Признак Даламбера:

Пусть дан ряд

т о если l < 1, то ряд (1) сходится

если l > 1, то ряд (1) расходится

если l = 1, признак не дает ответа

Замечание:

1. Признак Даламбера используется для рядов с положительными членами или для рядов среди членов которых есть нули.

Радикальный признак Коши:

Пусть дан ряд

если l < 1, то ряд сходится

если l > 1, то ряд расходится

если l = 1, то признак не дёт ответа

Замечания 1 и 3 остаются в силе для этого признака.

3. Признаки сравнения и интегральный признак Коши для знакоположительных рядов.

Первый признак сравнения:

Пусть даны два ряда

тогда если ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится.

Если ряд (1) расходится то и ряд (2) расходится.

Второй признак сравнения:

Пусть даны два ряда

то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Интегральный признак Коши:

Если f(x) – непрерывная монотонно – убывающая и принимающая только положительные значения в промежутке (0;+) функция, причем её значения f(1), f(2), … f(n), … соответствующие целым положительным числам 1, 2, ...n, равны членам ряда

u1, u2, … un, … тогда ряд (1) сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится несобственный интеграл

4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Опр. Знакопеременный ряд – ряд, члены которого имеют различные знаки.

1. группа – знакочередующиеся ряды.

2. группа – ряды с произвольным чередованием знаков.

Опр. Знакочередующиеся ряды – ряды, два соседных члена которых имеют разные знаки.

Для знакопеременных рядов определяется абсолютная и условная сходимости.

Пусть

Опр. ряд (2) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (3).

Опр. ряд (2) называется условно сходяшимся, если ряд (3) расходится а сам ряд (2) сходится.

Теорема: абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.

5. Степенные ряды. Теорема Абеля.

Опр. Степенной ряд – функциональный ряд вида

Опр. Областью сходимости ряда (1) является некоторый интервал (-R;R), внутри которого ряд (1) абсолютно сходится вне его – расходится. Для определения сходимости на концах интервала необходимо дополнительное исследование. R называется радиусом сходимости, т. x=0 центр сходимости. Для определения радиуса сходимости используются следующие формулы:

Теорема Абеля:

1. Если степенной ряд (1) сходится в точке x00 

степенной ряд (1) абсолютно сходится для любого x

удовлетворяющему неравенству |x |<|x0|.

2. Если степенной ряд (1) расходится в точке x0  ряд (1) расходится в любом x который удовл. |x|>|x0|

Замечание: теорема Абеля говорит о том что если у ряда есть точка сходимости т. x0  у ряда существует и интервал абсолютной сходимости

(-|x0|;|x0|). Если у ряда (1) есть точка расходимости x0  у ряда существует интервал расходимости

(-;-|x0|)(|x0|;+)