Неупорядоченные совокупности (одновременный выбор)

А. Сочетания без повторений. Если комбинации из n элементов по k отличаются только составом элементов, то их рассматривают как одновременный неупорядоченный выбор k элементов из генеральной совокупности объема n и называют сочетаниями из n элементов по k. Иными словами, сочетания – это неупорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга только составом элементов.

ПРИМЕР. Все сочетания без повторений двух элементов из множества {a, b, c} таковы:

{a, b}, {a, c}, {b, c}.

Формула для вычисления числа сочетаний из n элементов по k имеет вид

.

Свойства сочетаний можно представить следующим образом:

Б. Сочетания с повторениями. Если в сочетаниях из n элементов по k некоторые из элементов или все могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называются сочетаниями с повторениями из n элементов по k, и число сочетаний с повторениями из n элементов по k равно

.

ПРИМЕР. Все сочетания с повторениями двух элементов из множества {a, b, c} таковы:

{a, a}, {a, b}, {a, c}, {b, b}, {b, c}, {c, c}.

Разбиение множества на группы

Если множество из n различных элементов разбивается на k групп так, что в первую группу попадают n₁ элементов, во вторую n₂ элементов, в k-ю группу – n_k элементов, причем n₁ + n₂ + … + n_k = n, то число таких разбиений равно

Задача 7. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом участников, т.е. представляет собой сочетания из 16 элементов по 2. Их число равно

.

Задача 8. В условиях задачи 4 определить, сколько вариантов распределения призов существует, если по каждой номинации установлены одинаковые призы?

Решение. Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок фильмов в комбинации 5 призов значения не имеет, и число вариантов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5, определяемое по формуле

.

Разбиение множества на группы

Если множество из n различных элементов разбивается на k групп так, что в первую группу попадают n1 элементов, во вторую n2 элементов, в k-ю группу – nk элементов, причем n₁ + n₂ + … + n_k = n, то число таких разбиений равно

Задача 9. Сколькими способами можно разбить группу из 25 студентов на три подгруппы по 6, 9 и 10 человек в каждой группе?

Решение. Здесь n = 25, k = 3, n₁ = 6, n₂ = 9, n₃ = 10. Согласно приведенной выше формуле, число таких разбиений равно:

.

Классическая вероятностная модель Случайные события

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности массовых случайных событий.

Рассмотрим основные термины и понятия теории вероятностей.

Испытанием называется совокупность условий, при котором может произойти данное случайное событие.

Событие – всякий результат или исход испытания.

Наблюдаемые нами явления (события) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным событием называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Невозможное событие – событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Случайное событие – событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий S может либо произойти, либо нет.

Массовые случайные события – это события, которые могут неоднократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Случайные события бывают совместными и несовместными, зависимыми и независимыми.

События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появления другого при том же испытании.

События называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого.

События называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из них происходит чаще, чем другое.

События образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.

События, входящие в полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, называются исходами или элементарными событиями.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны. Обозначение: .

Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В.

События А, В, С… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлениям или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.