Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
Выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднеквадратическое являются оценками генеральных параметров, т. е. приближенными значениями параметров генеральной совокупности.
Оценкой параметра генеральной совокупности называют всякую однозначно определенную функцию результатов наблюдений, с помощью которой судят о значении параметра.
Оценки подразделяются на точечные и интервальные. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Основными свойствами оценок являются свойства несмещенности, эффективности и состоятельности.
Точечную оценку
параметра
называют несмещенной, если ее
математическое ожидание равно оцениваемому
параметру
,
т.е.
.
Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценке параметров.
Так как оценка
– случайная величина, значение которой
изменяется от выборки к выборке, то
величину ее отклонения от истинного
значения параметров
можно охарактеризовать дисперсией
.
Несмещенную оценку , которая имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборкам одного и того же объема называют эффективной оценкой.
Оценку
параметра
называют состоятельной, если
при увеличении числа независимых
наблюдений (
)
с вероятностью близкой к единице, можно
утверждать, что разность между
и
по абсолютной величине меньше сколь
угодно малого положительного числа
,
или
.
Выборочное среднее
является несмещенной оценкой
математического ожидания генеральной
совокупности. При увеличении объема
выборки (
)
значение выборочного среднего стремится
к параметру генеральной совокупности
с вероятностью близкой к единице, т.е.
данная оценка является состоятельной.
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Для получения несмещенной точечной оценки дисперсии генеральной совокупности необходимо использовать формулу:
.
Для вариационного ряда:
.
Эту оценку называют исправленной
выборочной дисперсией, где
– коэффициент, позволяющий «исправить»
смещенную оценку (выборочную дисперсию).
Тогда исправленное среднее квадратическое отклонение равно:
.
С учетом полученной оценки генеральной дисперсии выражение для дисперсии выборочной средней равно:
.
Тогда оценка среднего квадратического отклонения выборочной средней или ошибка выборочной средней:
Задача 24. Имеется выборка: 2, 4, 5, 3, 6, 4. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и ошибку выборочного среднего.
Решение.
