Характеристики положения и рассеяния статистического распределения
В разделе теории вероятностей были
рассмотрены числовые характеристики
случайных величин: математическое
отклонение, дисперсия, среднее квадратичное
отклонение. Аналогичные числовые
характеристики вводятся и для выборочных
данных. Выборочные аналоги можно
определить как из результатов наблюдения,
представленных в виде последовательности
,
так и предварительно сгруппированных
в виде статистического распределения
или гистограммы.
Аналогом основной характеристики положения математического ожидания случайной величины является выборочное среднее.
Если все значения признака
выборки
различны, то выборочную среднюю
определяют как среднее арифметическое
значение признака выборочной совокупности:
.
Если же признак имеет значения
с
частотами соответственно
,
то выборочная средняя определяется как
средняя взвешенная значений с весами,
равными соответствующим частотам.
Формула имеет вид:
.
Когда вариационный ряд является интервальным, для расчетов показателей средних применяют значения вариант, равные середине соответствующих интервалов. То есть если данные представлены в виде гистограммы, то
,
где
– срединное значение i-го
интервала,
–
относительная частота попадания в
данный интервал, k –
количество интервалов.
Среднее геометрическое вычисляется по формуле:
.
Кроме математического ожидания, параметрами характеризующими центр статистического распределения являются медиана и мода.
Медианой
называют
варианту, которая делит вариационный
ряд на две равные части: по обе стороны
от медианы располагается одинаковое
число вариант. Если число вариант
нечетно, т.е.
;
при четном
медиана
равна
.
Для интервального ряда медиана вычисляется по формуле:
,
где
–
значение начала медианного интервала;
–
величина медианного интервала;
–
половина объема выборки;
–
сумма частот, накопленных до медианного
интервала;
–
частота медианного интервала.
Задача 23. Дан вариационный ряд 5, 7, 8, 10, 12, 14, 18. Найти медиану.
Решение. Медианой этого ряда будет центральная величина, то есть = 10, по обе стороны от нее находится по три варианты.
Модой
называют
варианту, которая имеет наибольшую
частоту. Для интервального ряда мода
вычисляется по формуле:
,
где
–
нижняя граница модального интервала,
т.е. интервала, имеющего максимальную
частоту;
–
величина модального интервала;
–
частота модального интервала;
и
соответственно частоты предмодального
и послемодального интервалов.
Для характеристики рассеяния вариант относительно своего выборочного среднего вводят характеристику называемую выборочной дисперсией.
Выборочная дисперсия
характеризует
рассеяние наблюдаемых значений
количественного признака выборки вокруг
своего среднего значения. Если все
значения
признака
выборки объема n
различны, то выборочная дисперсия
определяется как среднее арифметическое
квадратов отклонений наблюдаемых
значений признака от их среднего значения
:
.
Если значения признака имеют соответственно частоты , то выборочная дисперсия определяется как среднее взвешенное значение квадратов отклонений от выборочной средней с весами, равными соответствующим частотам:
.
Если данные представлены в виде гистограммы, то
,
где – срединное значение i-го интервала, – относительная частота попадания в данный интервал, k – количество интервалов.
Кроме дисперсии, для характеристики рассеяния значения признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения используют выборочное среднеквадратическое отклонение:
.
Иногда, для сравнения вариабельности признаков имеющих различную размерность, применяют безразмерный показатель, который называется коэффициент вариации. Этот показатель представляет процентное отношение среднеквадратического отклонения к выборочной средней:
.