Множества Основные понятия
Понятие множества – одно из основных понятий математики. Основные понятия не определяются, поскольку для них невозможно дать четкого определения. Понятие множества принимается как исходное, первичное, т.е. не сводимое к другим понятиям.
Введем понятие множества.
Под множеством понимают совокупность объектов, которая рассматривается как одно целое.
Например, можно говорить о множестве натуральных чисел, о множестве букв на данной странице, о множестве корней данного уравнения и т.п.
Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами.
Принадлежность элемента а множеству А
записывается следующим образом:
,
непринадлежность обозначается:
.
Способы задания множеств:
1. Перечислением всех объектов,
входящих в множество. Таким способом
можно задать лишь конечные множества.
Обозначение – список в фигурных скобках.
Например, множество натуральных чисел,
делителей числа 6:
.
2. Описанием характеристических
свойств, которыми обладают все элементы
множества. Обозначается
.
Например, множество можно записать и таким образом
Множество А называют подмножеством
множества В, если каждый элемент множества
А является элементом множества В.
Обозначается
.
Например:
,
,
то
.
Среди всех элементов выделяется пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.
Если одновременно
и
,
то говорят, что множества А и В равны
(А = В), то есть содержат одни и те же
элементы.
Операции над множествами
Рассмотрим операции над множествами, с помощью которых можно получать из любых двух множеств новые множества. Для наглядности представления операций над множествами применяют своего рода диаграммы. Построение диаграммы заключается в изображении прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов Эйлера, представляющих множества.
Вместо кругов Эйлера определенные множества изображают любые другие замкнутые фигуры, и такую иллюстрацию называют диаграммами Венна.
Для рассуждений, связанных с множествами, будем использовать язык диаграмм Эйлера-Венна.
Область, представляющую то подмножество, которое нас интересует, отметим штрихами.
Объединением множеств А1 и А2 называют множество В, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А1 и А2.
Такое множество всегда существует.
Из определения равенства двух множеств
следует, что для любых двух множеств А1
и А2 существует единственное
множество, являющееся их объединением.
Объединение двух множеств обозначается
.
Пересечением множеств А1 и А2 называется множество В, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А1, и множеству А2 одновременно.
Такое множество всегда существует. Для
любых двух множеств А1 и А2
существует единственное множество,
являющееся их пересечением. Пересечение
двух множеств обозначается
.
Разностью множеств А1 и А2 называют множество В, состоящее только из тех элементов множества А1, которые не содержатся в А2.
Для любых двух множеств А1 и А2
всегда существует такое множество,
и притом единственное. Разность множеств
А1 и А2 обозначается
.
Разность – операция строго некоммутативная.
В общем случае
.
Пусть U – универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
Дополнением (до U)
множества А называется множество
всех элементов, не принадлежащих
универсальному множеству U,
то есть
.
Задача 1. Пусть
.
Найти
.
Решение.
а) Пересечение множеств содержит только
те элементы, которые принадлежат первому
и второму, следовательно:
.
б)
– это дополнение множества А до множества
U, то есть, чтобы получить
,
из элементов множества
исключим элементы множества
.
Получаем
.
Аналогично вычислим дополнение множества
В до универсального множества U:
.
Объединение
.
в) Разность множеств В и С – это множество,
состоящее только из тех элементов
множества В, которые не содержатся во
множестве С:
.
Объединяя полученное множество с множеством А, получаем:
.
Задача 2. Представить множество
диаграммой Эйлера-Венна.
Решение.
