17. Критерий апериодичности переходных процессов.
Существует несколько критериев апериодичности переходных процессов: Эйлера, Каца и Штурма.
Критерий Л.Эйлера (1765 г. позволяет получить условие апериодичности переходного процесса по коэффициентам характеристического уравнения. При этом корни характеристического уравнения могут быть комплексно-сопряженными с отрицательными вещественными частями.
Если характеристическое уравнение записать в форме
,
то для апериодичности переходного процесса необходимо, чтобы для любых смежных коэффициентов выполнялось условие:
,
(7.4)
где
- степень характеристического уравнения;
- индекс проверяемого коэффициента,
.
Невыполнение хотя бы одного из неравенств следует считать признаком отсутствия апериодической устойчивости.
Недостаток рассмотренных критериев состоит в том, что они не учитывают свойств возмущений, действующих на САУ.
Для анализа качества систем управления, описываемых дифференциальными уравнениями третьего порядка, И.А.Вышнеградский разработал диаграмму, по которой в плоскости двух параметров Вышнеградского можно найти область устойчивости, апериодичности, отсутствия перерегулирования, области равного абсолютного затухания, относительной степени затухания. Однако в связи с частным случаем решенной задачи исследования по данному вопросу не приводятся и могут быть найдены практически в любом учебнике по теории автоматического управления.
12. Критерий устойчивости Найквиста-Михайлова.
С
помощью критерия устойчивости
Найквиста-Михайлова по стационарным
свойствам разомкнутой САУ можно судить
о нестационарных свойствах замкнутой.
Известно, что характеристическое
уравнение замкнутой САУ, определяющее
ее устойчивость, получается приравниванием
нулю знаменателя передаточной функции
замкнутой системы, т.е.
.
Обозначим
тогда
(5.8)
Если
в выражении (5.8) заменить
на
,
то в числителе получим годограф Михайлова
для замкнутой системы, а в знаменателе
- для разомкнутой. При этом степень
числителя и знаменателя будут одинаковы
и, если замкнутая и разомкнутая системы
устойчивы, то
.
На
комплексной плоскости это обозначает,
что вектор
при изменении
от 0 до
не поворачивается вокруг точки
,
или что вектор
не охватывает на комплексной плоскости
точку
при изменении
от 0 до
(рисунок 5.3).
Таким образом, если разомкнутая САУ устойчива и ее АФХ не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами , то замкнутая САУ будет устойчива.
Если разомкнутая САУ неустойчива и имеет неустойчивых корней, а замкнутая САУ устойчива, то
Таким
образом, если разомкнутая САУ неустойчива
и имеет
неустойчивых корней, то для устойчивости
САУ в замкнутом состоянии необходимо,
чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала
в положительном направлении точку на
комплексной плоскости с координатами
раз.
Если разомкнутая САУ неустойчива, то число неустойчивых корней можно определить по критерию Михайлова.
В том случае, если разомкнутая САУ находиться на границе устойчивости благодаря наличию нулевых корней, передаточную функцию ее можно записать так:
(5.9)
где
- кратность нулевого корня.
При малых значениях АФХ нейтральной системы можно представить так:
|
(5.10) |
где
Из
выражения (5.10) следует, что при малых
значение
.
АФХ разомкнутой системы стремиться к
началу координат при увеличении
по одной из осей координат комплексной
плоскости:
при
т.е. АФХ перемещается по отрицательной
мнимой оси;
при
т.е. АФХ перемещается по отрицательной
вещественной оси;
при
т.е. АФХ перемещается по положительной
мнимой оси.
Для анализа устойчивости таких систем справедлив критерий устойчивости Найквиста-Михайлова, если их АФХ дополнить частью окружности бесконечного радиуса, которая
начинается на положительной вещественной полуоси, как это показано на рисунке 5.4.
Из
рисунка следует, что абсолютная
устойчивость (устойчивость, которая не
нарушается при уменьшении коэффициента
усиления разомкнутой системы) может
быть получена только при
.
При
может быть получена только условная
устойчивость.
(4.65)
где
.
АФХ регулятора изображена на рисунке 4.8.
