10. Алгебраический критерий Гурвица.
Если
характеристическое уравнение САУ имеет
вид (5.2), то система автоматического
управления
будет устойчива, если при
будут положительны все главные
диагональные миноры определителя
Гурвица до
порядка.
Определитель
Гурвица составляется следующим образом:
по диагонали записывают коэффициенты
от
до
,
над диагональю записывают коэффициенты
с возрастающим индексом, под диагональю
- с убывающим, недостающие коэффициенты
заменяются нулями. Например, для системы,
имеющей характеристическое уравнение
4-й степени, получим
.
(5.5)
Поскольку
,
то при соблюдении необходимого условия
устойчивости (положительность всех
коэффициентов) достаточно чтобы
положительными были
диагональный минор. Очевидным является
также утверждение, что при
будет иметь место нулевой корень
характеристического уравнения, т.е.
система будет находиться на границе
устойчивости. Если
,
а
,
то в характеристическом уравнении будут
чисто мнимые корни, и она также будет
на границе устойчивости. При этом все
главные диагональные миноры до
порядка должны быть положительными.
Критерий
Гурвица удобен для исследования систем
с характеристическим уравнением
невысокой степени (до пятой). При высокой
степени характеристического уравнения
или при наличии звена чистого запаздывания,
когда характеристическое уравнение
становится трансцендентным из-за члена
вида
,
удобнее, а при трансцендентном
характеристическом уравнении единственно
возможным, являются частотные критерии,
обладающие простой геометрической
интерпретацией.
14 Логарифмический частотный критерий устойчивости
Исследование устойчивости САУ существенно упрощается при применении ЛЧХ благодаря простоте построения ЛЧХ и очевидной связи параметров системы с видом этих характеристик, что не только дает возможность видеть влияние того или иного параметра на устойчивость, но и определять характеристику корректирующего звена, обеспечивающего требуемые показатели качества САУ.
Если
разомкнутая САУ устойчива, то замкнутая
САУ также будет устойчива, если ордината
логарифмической ФЧХ на частоте среза
(
- частота, при которой
)
системы по абсолютной величине меньше
,
т.е.
(рисунок 5.6.). На рисунке изображены
для 1)-устойчивой; 2)-на границе устойчивости;
3)- неустойчивой систем.
Считается,
что система обладает достаточным запасом
устойчивости по фазе, если
и по модулю, если
Запас устойчивости по амплитуде
определяется как число децибел, на
которое нужно увеличить усиление
системы, чтобы она достигла границы
устойчивости.
Для
систем, обладающих более сложной формой
АФХ, удобнее для анализа устойчивости
пользоваться формулировкой, вытекающей
из правила определения числа переходов
ЛЧФХ через линию
.
Переход ЛЧФХ линии снизу вверх считается положительным, сверху вниз - отрицательным.
Система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом, если разность положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ линии равна нулю в диапазоне частот, в котором ЛАЧХ положительна (рисунок 5.7).
Для
АФХ это эквивалентно четному числу
пересечений отрезка отрицательной
вещественной оси
,
т.е. отсутствию охвата точки на комплексной
плоскости с координата-
ми
.
Т.о., количественными оценками запаса устойчивости систем управления являются: запас устойчивости по модулю и запас устойчивости по фазе.