9. Общие положения об устойчивости сау.

САУ будет называться устойчивой, если выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе она возвращается в исходное состояние, т.е. при снятии внешнего воздействия САУ возвращается в то состояние, в котором она находилась до возмущения.

Известно, что вид переходного процесса в САУ определяется суммой двух составляющих - свободной и вынужденной. Поскольку вынужденная составляющая определяется внешним воздействием, а устойчивость линейной САУ зависит от ее поведения после снятия внешнего возмущения, то можно сделать следующий вывод: устойчивость линейной САУ не зависит от внешнего воздействия, а определяется видом свободной составляющей переходного процесса.

Свободная составляющая переходного процесса находит-ся как общее решение линейного однородного уравнения

, (5.1)

где - отклонение регулируемой величины от исходного установившегося состояния.

Поскольку решение уравнения (5.1) определяется корнями характеристического уравнения

, (5.2)

то, следовательно, устойчивость САУ будет зависеть от вида корней уравнения (5.2).

В случае различных вещественных корней

. (5.3)

Система автоматического управления будет устойчива, если при ; нейтральна, если при ; неустойчива, если при .

Свободная составляющая будет стремиться к нулю тогда, когда каждое слагаемое суммы (5.3) будет стремиться к нулю при . Это условие будет выполняться в таких случаях:

все корни характеристического уравнения (5.2) отрицательные;

все корни имеют отрицательные вещественные части.

Если в характеристическом уравнении (5.2) будет хотя

бы один нулевой или пара мнимых сопряжений корней, то появятся слагаемые в выражении (5.3) вида , или которые не уменьшаются до нуля при и, следовательно, система будет нейтральна (находится на границе устойчивости). Если в уравнении (5.2) имеется мнимый или комплексный корень, то обязательно будет и сопряженный ему, поскольку все коэффиценты характеристического уравнения-вещественные числа, имеющие размерность , и т.д.

Если хотя бы один корень характеристического уравнения САУ вещественный-положительный или пара комплексно-сопряженных корней имеет положительные вещественные части, то САУ неустойчива.

Необходимым условием устойчивости САУ является наличие и положительность всех коэффицентов характеристического уравнения (если они все отрицательны, то можно поменять знак). Это условие необходимое, но недостаточное. Если оно выполняется, то имеет смысл искать и проверять достаточное условие -отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения. Однако для характеристического уравнения, степень которого выше 4-го порядка, нет точных формул для определения корней.

4. Основные характеристики звеньев и су

Исследование свойств звеньев или систем управления может быть проведено по реакции на одинаковые входные сигналы. В качестве ти­повых входных сигналов используются различные функции.

а) ступенчатая функция, аналитическое выражение которой можно записать так:

Функция называется единичной ступенчатой функцией. Реакция звена или системы управления на единичную ступенчатую функцию называется переходной функцией. Она может быть получена путем решения дифференциального уравнения при единичном ступенчатом входном воздействии. Если реакция звена или системы на ступенча­тое входное воздействие получена экспериментально, то она называется кривой разгона. Поскольку , а ,

то - переходная функция звена или

системы, имеющей передаточную функцию .

б) импульсная функция. Является производной ступенчатой функции и обозначается . Она представляет импульс бесконечно большой величины и бесконечно малой длительности интеграл от которой . Реально такой импульс иметь нельзя, одна­ко являясь математической идеализацией, он облегчает исследование САУ. Изображение можно получить с помощью предельного перехода для изображения импульсного сигнала, когда его амплитуда стремится к бесконечности, а длительность к нулю.

.

Переходная и импульсная переходная функция называются временными характеристиками звена или системы.

.

в) гармоническая функция. Она может быть задана в веществен­ной или комплексной форме:

, или ,

где -угловая частота; - период колебаний.

Весьма удобной при исследовании CАУ оказывается комплексная форма задания гармонической функции:

.

Амплитуда и фаза выходной величины зависят от частоты и параметров системы. Поэтому исследование реакции звена или системы на гармоническое воздействие приводит к понятию частотных характеристик.

Пусть на САУ действует гармоническое воздействие. Тогда частное решение дифференциального уравнения будет также гармонической функцией, но отличающейся от входного воздействия по амплитуде и фазе.

; ,

,

и т.д.

Если имеется дифференциальное уравнение

, (4.1)

то, заменив в нем значения входного и выходного сигналов и производных, получим

.

Отношение установившегося гармонического сигнала на выходе звена или системы к гармоническому входному сигналу называется АФХ.

(4.2)

где - вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики; - мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики.

В выражении (4.2) есть АФХ; - ФЧХ.

Формально АФХ может быть получена путем замены в передаточной функции на . Действительно, дифференциальное уравнение (4.1) в операторной форме имеет вид:

,

откуда передаточная функция

,

АФХ:

.

Ограничиваясь членами ряда с , и в первой степени, т.е. принимая линейное приближение, получаем:

. (2.8)

. (2.9)

Из выражений (2.8)и (2.9) находим:

, (2.10)

. (2.11)

Подставим полученные выражения для и в уравнение (2.4):

, (2.12)

или, перенося в левую часть все члены с , находим

. (2.13)

Таким образом мы получили линеаризованное уравнение динамики.

В ур-ии (2.13) все слагаемые имеют размерность объема. Размерный вид диф. ур. затрудняет сравнение ди­намики различных по своей природе процессов. С этой целью вводятся безразмерные переменные:

; ; ,

где , , - относительное изменение регулируемой величи­ны, регулирующего органа, нагрузки.

Для стационарного режима номинальной и максимальной нагрузки справедливы соотношения:

(2.14)

Разделим все слагаемые выражения (2.13) на

:

. (2.15)

Если в выражениях (2.14) почленно разделить левые и правые части, то получим , где - коэффициент нагрузки.

Введя безразмерные величины, уравнение (2.15) можно записать в виде:

, или , (2.16)

(2.17)

- коэффициент саморегулирования - способность объекта приходить к новому установившемуся состоянию при нали­чии возмущения. Саморегулирование объекта появляется в результате того, что само изменение регулируемой величины стремится обеспечить баланс притока и расхода жидкости.

Рассмотрим изменение во времени уровня жидкости в баке для случая положительного и нулевого саморегулирования. С этой целью запишем уравнение (2.16) в виде

(2.18) где - постоянная времени объекта регулирования,

- коэффициент усиления.

Решим ЛНДУ (2.18). Полное его решение состоит из двух слагаемых:

(2.19)

где - свободная составляющая решения, определяемая как об­щее решение ЛОДУ.; - вынужденная составляющая решения, определяемая частным решением НДУ.

Характеристическое уравнение имеет вид: (2.20)

откуда , где - корень характеристического уравнения. В итоге:

В установившемся режиме из уравнения (2.16):

поэтому (2.21)

Постоянную интегрирования находят по начальным услови­ям. Предполагаем, что имеют место нулевые начальные условия, или

поэтому (2.22)

Если на графике построить кривую изменения во времени при скачкообразном возмущении, то она будет иметь вид изображен­ный на рисунке 2.2.

Постоянная времени Т есть время, в течение которого вы­ходная величина объекта достигла бы своего установившегося сос­тояния при скачкообразном изменении входной величины, если бы скорость ее изменения была постоянной и равной в начальный мо­мент времени.

Коэффициент усиления объекта к есть отношение приращения выходной величины к приращению входной в установившемся режиме

(2.25)