11. Уравнение Бесселя.

Рассмотрим уравнение вида: - уравнение Бесселя. Это уравнение для цилиндрических функций – его решения – цилиндрические функции. Рассмотрим лапласиан в цилиндрических координатах, и : - возникает в связи с решением уравнения Лапласа в цилиндрических координатах.

Решением этого уравнения (1-ым базисным решнием) является функция Бесселя первого рада: .

Рассмотрим некоторые её свойства.

1. Рекуррентные соотношения.

2. Функции Бесселя с полуцелыми номерами . Вычислим .

Для этого выполним преобразования:

, подставим , но, тогда.

Таким образом, мы получили следующие значения: , используя рекуррентные соотношения можно получить остальные значения полуцелых индексов.

3. Нули функции Бесселя.

1. Они есть и их бесконечно много, следует из асимптотики: . 2. Все нули, кроме , простые, изолированные. 3. Все нули действительные, положительные. 4. ине имеют общих нулей (см. рисунок). 5. При возрастании корень смещается,,- корни функции Бесселя.

1. Особенность, построение ограниченного решения .

Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на :. Подставим это решение в уравнение,, найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.

Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:

При : При : При : При :

Пусть . Таким образом :. Вычислим коэффициент, и выразим его через.

, коэффициент выбираем произвольно:, где.

Таким образом, получили коэффициенты ряда: , т.к..

Запишем формальный ряд: , если, тогда решение ограничено. Оно решение, т.к. ряд сходится для любыхпо признаку Даламбера:, сходится при всех, радиус сходимости равен бесконечности. Таким образом, мы получили единственное, с точность до множителя решение:- функция Бесселя первого рода – это первое базисное решение.

Случай рассмотрен в следующем пункте.

14. Общее решение, ,,,понятие о функциях .

Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на :. Подставим это решение в уравнение,, найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.

Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:

При : При : При : При :

Пусть : тогда уравнение решение Бесселя будет:, где- любое нецелое число. Это неограниченное решение значит, оно может выступать в роли второго базисного, но только в случае не целого значения.

Пусть - целое число, тогдапри.сменим индекс:, получили соотношение:, то есть решения стали линейно зависимыми..

В качестве второго линейно независимого решения уравнения Бесселя можно взять функцию, построенную следующим образом: - это функция Неймана.

Её асимптотика . Оно тоже может играть роль базисного уравнения.

Могут быть и другие линейно-независимые комбинации (базисные решения):

- функции Ханкеля, их асимптотика .

Т.о. общее решение уравнения Бесселя имеет вид (линейная комбинация 2-х базисных решений):

15. Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.

Функции Бесселя (любые решения уравнения Бесселя) имеют особенность в нуле. Решение уравнения Бесселя при имеет следующий вид:. Докажем это.

Для этого сделаем замену: , подставим, первые производные ушли, осталось:. Таким образом:, будем искатьв виде:. Надо найти две функции:и.

положим , получим . Тогда, подставим в уравнение:, т.о. получили систему:. Получили систему, разрешённую относительно производных, но не нелинейную. Оценим. Проинтегрируем и запишем для первого и второго уравнений:

. При больших значениях,иимеют вид констант.

Получим вид :и:.

Тогда - общая формула для любой цилиндрической функции.

Асимптотики функций Бесселя и Неймана: