6. Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.

(1)Точкар принадлежит области D, ограниченной контуром Г.

Воспользуемся формулой: , мы не знаем, как находитсяи, соответственно, не можем найти точное решение - избавимся от слагаемого, которое её содержит. Воспользуемся второй формулой Грина для функцийи. Из второй формулы Грина следует.

В качестве w выберем любую гармоническую функцию в D, такую что: , то есть мы выбираем её так, чтобы на границе она совпадала с.

Вычитая два этих выражения, получаем: . Пусть, тогда:,- функция Грина задачи Дирихле.

Функция Грина является решением задачи (1), удовлетворяет уравнению:. Проинтегрируем по шару:

применим теорему Гаусса , т.о. можно определить аксиоматически:

Функция Грина задачи , это решение следующей задачи:.

Её физический смысл. Рассмотрим заряд величины в точке р, его потенциал в точкеQ: , функцияподправляет его так, чтобы на границе он равнялся нулю. Если представить, что этот заряд находиться внутри шара, сделанного из металлической сетки, то можно сказать, чтомоделирует заземление.

Функция Грина в двухмерном случае: . Мы получили решение задачи (1) через функцию Грина, но саму функцию Грина не нашли, для этого надо решить задачу для, найти. Пусть точкапринадлежит области, ограниченной. Ищемвиде потенциала:подбираем точки, сажаем в них заряды, так чтобы суммарный потенциал на границе был = 0 – метод электростатических изображений..

7. Функция Грина для задачи с уравнением, понятия, определения.

- гармоническая везде, кроме точки , в ней она имеет особенность. Рассмотрим более обобщённый случай.- краевая задача – общий вид – с эллиптическим уравнением.

Функцией Грина будем называть решение следующей задачи: (4’).

1. Решение задач с её помощью

Пусть - решение задачи (1’), а, воспользуемся второй формулой Грина, её можно применять для:. Перепишем эту формулу для нашего случая:.

Рассмотрим последний интеграл отдельно для всех трёх типов краевых задач:

т.о. можно написать, что: - решение (1’) с учётом краевых условий.

9. Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке

в одномерном случае (:) задача (4’) будет иметь вид:

, её решение – функция Грина:

Рассмотрим интервал

Выбираем решение уравнения, удовлетворяющее граничному условию при. Этих решений много. Общее решение:, где,- есть функция. Это решение существует везде на отрезке, оно может быть использовано для построения функции Грина.

Рассмотрим интервал .

Пусть тогда - решение уравнения, удовлетворяющее граничному условию при, Этих решений много. Общее решение:, где,- есть функция.

Склеим эти два куска так, чтобы в точке выполнялось (*). Там есть две производных, и при любом разрыве будет бесконечность. Возьмем окрестность точкиразмера δ и проинтегрируем левую часть (*):. Интегрируем:, пусть, тогда

, т.о. т.о. получили уравнение, связывающее две неопределённые константы. Второе уравнение можно получить, приравняв два решения в точке разрыва:. Имеем систему однородных линейных уравнений для нахожденияи:, решаем:, где определитель Вронского:, мы можем построить не бесконечную и непрерывную функцию Грина.

Из теории ОДУ знаем, что , докажем:, чтд.

Сделаем эту постоянную выбороми., и тогда функция Грина:

. Излом первой производной соответствует -функции. - линейные функции.

с) Функция Грина симметрична по своим аргументам G(P,Q) = G(Q,P)