8. Теория потенциалов, определение, основные свойства.

Пусть в точке расположен заряд величины, тогда в любой точкепространства будет создаваться поле, потенциал которого:. Для системы зарядов, потенциал имеет вид:.

Диполь: Пусть в точках ирасположены заряды, величиной–e и +e. - момент диполя, будем сближать точкии, сохраняя величину(увеличиваяe), то в пределе при получим точечный диполь, расположенный в точкеQ, потенциал которого равен: .

Рассмотрим интеграл: ,- интегрируема (непрерывна) везде, кроме, если. Рассмотрим его сходимость и непрерывность.

Определение: будем говорить, что это интеграл сходиться равномерно в окрестности точки , если для любогосуществует такое, (), что для любой точки, (- окрестность т.,) выполняется :.

Теорема: если сходится равномерно в окрестности точки, тосуществует и непрерывна в точке.

Доказательство: разобьём на 2 функции:, рассмотрим разность:(она мала, еслииблизки).

Докажем более подробно. Поскольку сходится в окрестности, то берёми выбираем такое, чтои, тогда выполняетсяи. Так как, то интегралне является не собственным, инепрерывна в точке. Значит, для того жесуществует такое, чтовыполняется. Пусть, тогдавыполняется,и, а следовательно и.

Чтд.

Замечание: из равномерной сходимости следует сходимость интеграла.

При определении интеграла предполагалось, что промежуток интегрирования конечен и подынтегральная функция определена и непрерывна на этом промежутке. Такой интеграл называется собственным. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным.

1. Объёмный потенциал

Потенциал поля, созданного зарядами, распределёнными в области с плотностью, равени называется объёмным потенциалом.

Свойство 1. Объёмный потенциал определён и непрерывен всюду.

Если , то интегралне является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция, непрерывна в точке, то непрерывен в этой точке и интеграл.

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость, интеграла в окрестности точки. Для этого оценим интеграл:, мы увеличили область, поместив всё в шар, радиуса. Перейдём в последнем интеграле к сферическим координатам и получим тогда:, чтобы интеграл был меньше заданного, достаточно взять.

Свойство 2. Объёмный потенциал имеет всюду непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки.

Если , то интегралне является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция точки, имеет в точкенепрерывные частные производные первого порядка по координатам точки, то этим свойством обладает и интеграл, причём производные вычисляются путём дифференцирования под знаком интеграла:,,- (1), где- координаты точки.

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость в окрестностях точкиинтегралов от производных в правых частях формул. Тогда законно дифференцирование под знаком интеграла, причём для производных,исправедливы формулы (1). Для определённости рассмотрим интеграл:. Оценим его:, т.к..

Далее, , достаточно взятьдля того, чтобы выполнялось неравенство.

Свойство 3. Объёмный потенциал является гармонической функцией вне области , в которой расположены заряды (массы). Это свойство следует из того, что для точекинтегралне является не собственным, и поэтому оператор Лапласа можно вносить под знак интеграла:

, т.к. для точек (а точнееP≠Q) имеем .

Свойство 4. в точках области объёмный потенциал удовлетворяет соотношению:, т.к.,.

Вторые производные рвутся.

Свойство 5. При стремлении точки наблюдения к бесконечности объёмный потенциал стремится к нулю (- огр.).

Применим теорему о среднем: , где- суммарный заряд. Т.о..