14. Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов

1. Полиномы Лежандра.

1) Определим многочлены Лежандра так: разложим в ряд по степеням функцию: .

Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Лежандра.- называется производящей функцией полиномов Лежандра.

2) Краевая задача: найти такие значения , для которых на отрезкесуществуют не тривиальные решения уравнения Лежандра, ограниченные при.

Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению.

Упрощённое уравнение Лежандра:

3) Рекуррентные соотношения:

4) Ортогональность и норма полиномов Лежандра: , полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой; второе линейно независимое решение уравнения Лежандра при обращается в бесконечность прикак.

5) Все нули полиномов Лежандра простые и расположены на интервале .

6) Ограниченность: полиномы Лежандра равномерно ограниченны для всех значений аргумента.

21. Полиномы Чебышева-Лягера.

1) Определим полиномы Чебышева-Лягера так: разложим в ряд по степеням функцию: .

Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Чебышева-Лягера.- называется производящей функцией полиномов Чебышева-Лягера.

2) Краевая задача: найти такие значения , для которых в областисуществуют не тривиальные решения уравнения Чебышева-Лягера , ограниченные при и возрастающие прине быстрее чем конечная степень

Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению.

Упрощённое уравнение Чебышева-Лягера:

3) Рекуррентные соотношения:

4) Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лягера: :, полиномы Чебышева-Лягера разных порядков ортогональны между собой с весом.

22. Чебышева-Эрмита.

1) Определим полиномы Чебышева-Эрмита так: разложим в ряд по степеням функцию: .

Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Лежандра.- называется производящей функцией полиномов Чебышева-Эрмита.

2) Краевая задача: найти такие значения , для которых насуществуют не тривиальные решения уравнения Чебышева-Эрмита , возрастающее при не быстрее чем конечная степень

Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению .

Упрощённое уравнение Чебышева-Эрмита:

3) Рекуррентные соотношения: ;

4) Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Эрмита: , полиномы Чебышева-Эрмита разных порядков ортогональны нас весоммежду собой.

23. Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.

	Лежандр			Чебышев - Лягер		Чебышев - Эрмит
Вид уравнения
Упрощенное уравнение
Собственные решения:
Собственные функции
Рекуррентные соотношения:
Производящие функции:
Ортогональность и норма:
Упрощенное уравнение гипергеометрического вида:
его самосопряжённый вид
Произвольное решение уравнения гипергеометрического вида тоже является решением другого уравнения гипергеометрического вида:			Пусть:
Собственные решения:
Собственные функции (Формула Родрига):
Ортогональность:
Присоединённые уравнение Лежандра:		Присоединённые функции: ,			Норма присоединённых функций: