Описание формы

Прямые и кривые линии можно рассматривать как простейшие элементы более крупных структур, таких как: прямоугольники, треугольники, окружности и т.д. Эти структуры затем можно описать и проанализировать с помощью характеристик их формы: метрических, топологических и аналитических.

Метрические характеристики

Такие характеристики основаны на измерении расстояния между точками на плоскости. Расстояние обладает свойствами (1). Существуют функции, которые позволяют определить различные метрики: эвклидово, абсолютное и максимальное расстояние.

На основании метрик можно определить метрические характеристики, основными из которых являются площадь объекта A, и длинна периметра P. И эти характеристики объединены формулой (3), которая определяет коэффициент T.

Топологические характеристики

Топологические характеристики формы – это свойства, инвариантные по отношению к преобразованию «резинового листа». Такое преобразование связано с растяжением или сжатием объекта заданной формы, которые искажают фигуры, но не разрывают их. В данном случае расстояние не является топологическим свойством.

Одной из основных топологических характеристик является E (число Эйлера). E = C – H. C – число связанных компонент, а H – количество дыр на фигуре.

Другим способом описания объектов является описание в виде выпуклости фигур. Фигура заключается в выпуклую оболочку и определяются дефициты выпуклости: озёра – ограниченные самим объектов; заливы – лежащие между объектом и периметром выпуклой оболочки.

Топологические свойства можно применять для вычисления геометрических величин – таких как периметр и площадь.

Допустим имеется объект, заданный на прямоугольной решётке, элементы которого описываются значениями единицы, а фон задаётся нулём.

Формулы (5) и (6) позволяют определить площадь A и периметр P. n() – количество совпадений с эталоном.

Существуют формулы, которые позволяют определять эталоны в виде квадратных матриц.

Формулы (8) не являются единственными, более точными дают формулы (9).

По эталонам рассчитывается число Эйлера.

Зная формулу (10) можно определить среднюю площадь (формула 10), средний периметр (11), среднюю длину и среднюю ширину (12).

Аналитические характеристики

Аналитические характеристики формы – это математические описания, которые дают другое представление, чем исходное представление формы в виде массива значений дискретных отсчётов, определяющих, например, яркость контура объекта.

Одним из способов аналитического описания является представление замкнутой кривой через совокупность текущих значений кривизны в каждой точке.

Положение каждой точки на периметре S определяется координатой Z(S) и углом Ф(S). (13) – (14)

k(S) (15) определяет кривизну в каждой точке периметра S.

Зная кривизну определяются координаты x и y (16).

Функция кривизны является периодической с периодом, равным длине периметра, поэтому она может быть разложена в ряд Фурье. (17)

Если фигура имеет резкие изломы (например: прямоугольник, треугольник), то воспользоваться формулой (15) уже нельзя. Для этого задаётся функция Тетта(S), т.н. функция формы, которая тоже является периодической с периодом P.

Для дискретных изображений используются формулы (19).

Другой подход к аналитическому описанию связан с нахождением моментов разных порядков.

Например, формула (20), которая определяет момент (смешанный) порядка m,n.

Формула (21) определяет характеристическую функцию, с помощью которой может быть получен смешанный момент (22).

(22) – моменты для спектральной функции двух случайных величин.