Выделение вершин допустимого множества

Как отличить вершины допустимого множества от других решений задачи? Пусть каноническая модель содержит переменных и m линейно-независимых равенств. Тогда размерность пространства переменных k= -m. На каждой границе допустимого множества одна из переменных равна нулю. В k –мерном пространстве вершина образуется пересечением k гиперплоскостей. Поэтому в ней k переменных заведомо равны нулю и только m переменных могут быть ненулевыми, т.к. -k= - +m=m. Если из вершины сместиться в любом направлении, то число ненулевых переменных увеличивается. В точках, не лежащих на границах условий, все переменные не равны нулю. Решение системы уравнений с рангом m содержит m базисных переменных и -m свободных (небазисных). Если все свободные переменные равны нулю, то решение называется базисным. Каждой вершине множества D соответствует некоторое базисное решение системы равенств. На самом деле в вершине могут пересекаться более k гиперплоскостей. Тогда в нуль обращается более k переменных (вырожденные решения, вырожденные задачи). Число “лишних” плоскостей () определяет степень вырожденности. В общем случае в базисном решении число ненулевых переменных равно m- и базисное решение - решение, в котором число ненулевых переменных не больше m. В любом другом решении таких переменных больше m.

Б азисное решение с неотрицательными переменными - допустимое базисное решение или опорным планом (решением). Вывод: оптимальное решение задачи ЛП следует искать среди опорных решений, геометрически – в вершинах (крайних точках) допустимого множества. Число базисных решений системы линейных уравнений с n переменными и рангом r определяется сочетанием

Из них примерно 40% опорных. для задачи: 10 неравенств с 10 переменными - каноническая форма будет иметь систему уравнений с 20 переменными и рангом r=10. Получаем ~185 тыс базисных решений и, порядка 70 тысяч опорных решений. В таких случаях приходится обращаться к соответствующим методам решения линейных задач (осн. их часть базируется на методе Данцигела).

11. Понятие базиса, переход от одного базисного решения к другому.

Векторы А₁, А₂, …, А_S являются линейно-независимыми, если равенство k₁A₁+k₂A₂+…+k_SA_S=0 выполняется только при k₁=k₂=…=k_S=0. Признаком линейной независимости векторов является ненулевое значение определителя, составленного из этих векторов, так как однородная система имеет единственное (нулевое) решение только при таком определителе. Если есть система линейно-независимых векторов, то любой другой вектор может быть выражен в виде их линейной комбинации и притом единственным образом: A_p=₁A₁+₂A₂+…+_SA_S, p[1, S].

В канонической форме условия записываются в виде Пусть система имеет базисное решение: Тогда (1)

Так как система совместна, то ее определитель не равен нулю, векторы являются линейно-независимыми. Система m линейно-независимых векторов, соответствующих базисным переменным, - базис. Каждой экстремальной точке соответствует своё базисное решение и свой базис.

Теперь, имея исходные базисное решение и базис , построим новое базисное решение. Смежные вершины отличаются по составу базисных переменных только одной. Поэтому новое решение можно получить путем замены одной небазисной переменной на базисную (r, r[1,m]), принимающая в новом решении некоторое положительное значение В новом решении условия также должны выполняться: (2)

Задача состоит в том, чтобы определить X⁽¹⁾ по X⁽⁰⁾. Выразим вектор A_r через исходный базис: A_r=A₁_1r+A₂_2r+…+A_m_mr -> A_r=A₁_1r+A₂_2r+…+A_m_mr . (3)

В ычитая (3) из (1), получим:

(4)

Сравнивая (1) и (2), видим, что правые части равны, а левые содержат одну и ту же систему векторов. Поэтому коэффициенты при одноименных векторах должны совпадать. Получаем: Для допустимости решения X⁽¹⁾ необходимо, чтобы  было ограничено сверху:

Т еперь решение всегда будет допустимым, но число ненулевых переменных в нем может превышать m, так как добавлена x_r, а значит, оно может быть небазисным. Если же в качестве значения  выбрать ₀, то одна из переменных станет равной нулю, а решение  базисным. Пусть минимум ₀ достигается на переменной x_k. Тогда базисные переменные в новом опорном решении будут вычисляться по формулам:

Этому решению соответствует новый базис {A_i}⁽¹⁾={A₁,…,A_k-1,A_r, A_k+1,…,A_m}. Таким образом, переход к новому базисному решению произошел путем замены переменной X_k на X_r, соответсвенно в базисе  A_k на A_r.

Рассмотрим возможные ситуации при переходе от одного решения к другому. Как было показано выше, при существовании положительных коэффициентов _ir достигается новое базисное решение (смежная вершина), что иллюстрируется рис. а. Если же все _ir неположительны, величина , а это значение вводимой переменной, не ограничена сверху. Следовательно, введение такой переменной не приведет к получению базисного решения (достижению новой вершины). Это признак того, что соответствующее ребро допустимого множества, а значит, и само множество оказываются неогранниченными (рис. б).

При вычислении ₀ минимум может достигаться более чем на одном индексе. При этом обнуляется более одной переменной из входящих в исходное решение. Следовательно, в новом решении будут базисные переменные с нулевым значением, что означает попадание в вырожденное базисное решение.

Если исходное решение вырожденное и нулевой переменной соответствует коэффициет _kr>0, то ₀=0 и значения переменных не изменяются. Однако состав базиса и базисных переменных изменится  произойдет замена на

12. Опр-е нач. базисного решения в симплекс-методе. Признак опт-ти.

Имея текущее базисное решение, необходимо выяснить, является ли оно оптимальным. Признак оптимальности позволяет установить статус решения и определить последующие действия. Пусть на k-й итерации получили базисное решение x^(k) с критерием L^(k). При смещении из этой вершины на: x^k+1_i=X^k_i-_ir, i=1, 2,…,m. x^k+1_r=. Критерий:

или, введя обозначения получаем

Параметр Δ_r - относительная оценка переменной; показывает, как изменится значение критерия при введении единицы новой переменной (=1). Поэтому, если есть отрицательные оценки, текущее решение может быть улучшено при введении в число базисных соответствующей переменной. Если все оценки будут >= нулю, ни одна переменная не может улучшить тек. решение, условие Δ_j0 - признак оптимальности. Для базисных переменных относительные оценки равны нулю: Так как базисный вектор не выражается через другие, то только один коэффициент _rr=1, остальные =0. z_r=C_r-> Δ_r=0. Достаточно проверять знаки оценок только небазисных переменных.

Интерпретация: задача планирования, в которой Х_j – количество продукции j-го вида, C_j – стоимость единицы произведенной продукции. Тогда X⁽⁰⁾ – план производства, включающий первые m видов продукции. Включим в него еще один вид продукции r. Так как ресурсы не меняются, это возможно только при одновременном уменьшении продукции, входящей в план X⁽⁰⁾. Величина этого изменения определяется коэффициентами _ir. _ir показывает, насколько должно измениться производство продукции i-го вида при введении в план единицы продукции r; в экономической литературе - маргинальная норма замещения. Значит, объем выпуска каждого вида продукции сокращается на _ir , а суммарная стоимость на величину Поэтому Z_r - маргинальная цена (снижение стоимости произведенной продукции на каждую единицу продукции r). В то же время, единица продукции r дает прирост стоимости С_r - маргинальный доход. Если C_r>Z_r, то есть Δ_r<0, то это выгодно.

Если несколько переменных имеют отрицательные оценки, то выбирают переменную с наименьшей оценкой. Этапы симплекс-метода:

1. Построение начального неотрицательного базисного решения.

2. Анализ оценок. При этом возможны три ситуации:

а) все оценки неотрицательны, следовательно, вычисления прекращаются, так как выполнился признак оптимальности.

б) имеются отрицательные оценки, но, по крайней мере, одной их них (например, Δ_j) соответствует вектор, для которого все коэффициенты разложения неположительны (_ij0). В этом случае  не ограничено сверху и критерий неограниченно возрастает. Решение прекращается.

в) для каждой отрицательной оценки есть _ij>0. Решение может быть улучшено выполнением 3 этапа.

3. Переход к новому базисному решению путем введения переменной с минимальной оценкой и выводом переменной.

Э тапы 2 и 3 повторяются до выполнения одного из условий останова.