Признак оптимальности

При перемещении  по циклу пересчета увеличиваются на эту величину значения переменных X_ij в четных вершинах, увеличиваются и затраты на перевозку на  C_ij. Одновременно уменьшаются на  переменные в нечетных вершинах и на  C_ij соответствующие им затраты. Значение критерия в новом, (k+1)-м решении можно определить по критерию в исходном решении и изменениям в клетках цикла:

или , где

Δ_ij – относительная оценка переменной X_ij, на которой построен цикл. Для базисных переменных оценка всегда равна нулю. Δ_ij показывает, как изменится критерий (в какую сторону и насколько) при перемещении по циклу 1 груза ( =1).

Если Δ_ij>0, то введение X_ij в число базисных приведет к уменьшению суммарных затрат. Если же Δ_ij<0, критерий возрастет, что противоречит цели. Решение нельзя улучшить, когда среди оценок нет положительных, Признак оптимальности - Δ_ij0.

Если признак не выполняется, то новое решение целесообразно строить на основе клетки с максимальной оценкой. Поставим в соответствие каждому пункту отправления сбалансированной задачи некоторую величину U_i, i=1, 2,…, m, а каждому пункту назначения – V_j, j=1, 2,…, n так, чтобы для базисных клеток выполнялись равенства V_j -U_i=C_ij, i jбаз. Система содержит m+n-1 уравнений с m+ n неизвестными. Присвоив одной из неизвестных некоторое произвольное значение, например, 0, м найти значения остальных. Зная U_i и V_j, можно вычислить относительную оценку для любого цикла в текущем плане перевозок. Пример на произвольно взятом цикле:

В скобках указаны индексы клеток (переменных), в которых расположены вершины цикла. Вычисляем относительную оценку свободной клетки i₀j₀:

Δ_iоjо=C_iоj1 - C_i1j1+ C_i1j2 - C_i2j2+ C_i2jо - C_iоjо. или

Δ_iоjо =V_j1 -U _iо -V_j1+U_i1+V_j2 -U_i1 -V_j2+U_i2+V_jо -U_i2 -C_iоjо =V_jo-U_io-C_iojo. Δ_ij=V_j-U_i-C_ij.

Новые переменные U_i и V_j - потенциалы ПО и ПН соответственно. Потенциалы можно интерпретировать как локальные цены. Если цена в пункте отправления i равна U_i и груз из него доставляется в пункт назначения j по коммуникации ij, то локальная цена в ПН возрастет по отношению к ПО на величину транспортных затрат: V_j=U_i+ C_ij.

Из этого соотношения также следует, что в оптимальном решении не может иметь место неравенство V_j >U_i+ C_ij, так как оно означает, что локальная цена в пункте j выше, чем в случае прямой доставки из i в j.

Приведенный способ определения оценок через потенциалы пригоден для любого опорного плана перевозок. Однако учитывая структуру матрицы оценок (нули в базисных клетках), можно оценки нового плана получить минуя вычисления потенциалов простым преобразованием матрицы оценок предшествующего плана.

Р ассмотрим преобразование матрицы ^(k) в матрицу ^(k+1) на основе нового решения X^(k+1). Новое решение получено вводом небазисной переменной с максимальной оценкой в ^(k). Пусть max _ij=_kr. В матрице ^(k) отмечаем элементы, соответствующие базисным в новом решении X^(k+1) (на рис. помечены символом *), максимальную оценку отмечаем особо. Далее строим цепочку выделения. Она строится с особо отмеченного элемента, который соединяют с отмеченными в этой строке. Затем отмеченные элементы, попавшие в цепочку, соединяют с отмеченными в их столбцах. Далее снова проводим соединение по строкам, и так до тех пор, пока не оборвутся все ветви. Элементы, попавшие в цепочку выделения, выделяют строку и столбец за исключением особо отмеченного элемента, который выделяет только строку. К выделенным столбцам прибавляем, а из выделенной строки вычитаем . Переменной X_kr и тем переменным из решения X^(k), которые сохранили статус базисных будет соответствовать нулевая оценка. Преобразованная матрица соответствует новому опорному плану.