10. Геометрия задач лп, базисные решения, вырожденность. Геометрия задач лп

Геометрические построения возможны для размерности пространства задачи k  3. Рассмотрим задачи на плоскости (k= 2):

Исходная модель L=7x1+5x2→max, 1) 2x1+3x219, 2) 2x1+x213, 3) 3x212, 4) 3x117, 5) x10, 6) x20.

Каноническая модель L=7x1+5x2→max, 2x1+3x2+x3=19, 2x1+x2+ x4=13, 3x2+x5=12, 3x1+x6=17, xj0.

Н адо сначала построить допустимое множество, а затем по целевой функции найти на нем точку или множество с максимальным значением критерия. Допустимое множество задачи находится как пересечение допустимых множеств, построенных по отдельным условиям задачи. Построение множества начинается с определения его границы (условия неотриц-ти). Допустимое множество задачи ЛП всегда лежит в первом квадранте. Теперь перейдем к построению допустимых множеств по функциональным условиям. Записываем уравнения границ и проводим соответствующие прямые. Находя пересечение шести построенных допустимых множеств, получаем выпуклый шестиугольник – частный случай выпуклого многогранника.

Из бесконечного множества допустимых решений, принад­лежащих этому многоугольнику, необходимо найти то, которое дает максимум критерия. Построим линии уровня критерия L=Const.. Так как критерий линейный, то линии уровня – это множество параллельных прямых с постоянным градиентом (направлением возрастания значений критерия). Поэтому для определения этого направления достаточно иметь 2 линии уровня. К

L^*

ритерий увеличивается в направлении, показанном стрелкой. Чтобы найти оптимальное решение, не нужно строить новые линии уровня. Предельное положение критерия соответствует прохождению линии уровня через точку С (максимальное значение). Координаты точки С – оптимальные значения переменных, можно найти как решение системы 2-х уравнений границ, образующих эту точку: 2 x^*₁+3 x^*₂=19, 2 x^*₁+ x^*₂=13.

Отсюда: х^*₁=5, х^*₂=3. Значения остальных переменных вычисляются однозначно из канонической модели после подстановки в ее уравнения х^*₁ и х^*₂. В результате оптимальное решение задачи: х^*₁ =5, х^*₂ =3, х^*₃ =х^*₄ =0, х^*₅ =3, х^*₆ =2 и , L^*= 50.

Т аким образом, чтобы добиться максимальной прибыли в 50 единиц, необходимо производить 5 изделий первого типа и 3 изделия второго типа. При этом будут полностью использованы ресусы 1-го и 2 -го вида (х^*₃=х^*₄=0), а по ресурсам 3-го и 4-го вида образуются остатки в количестве 3 и 2 соответственно (х^*₅=3, х^*₆=2). Задача имеет единственное оптимальное решение, так как линия уровня L= 50 соприкасается с допустимым множеством только в одной точке.

При данном допустимом множестве задача всегда будет иметь решение независимо от коэффициентов целевой функции, потому что в любом случае будет существовать предельное положение линии уровня критерия. Однако оптимальное решение может быть и не единственным. Пример: L₁=4x₁+6x₂→max.

Так как условия не изменились, то допустимое множество остается прежним. Если повторить построение линий уровня, то они будут параллельны стороне BC. Поэтому в предельном положении линия уровня критерия совпадает с границей по 1-му ограничению; Мн-во (бесконечное) оптимальных решений, лежащее на стороне BC, каждому из которых соответствует одно и то же максимальное значение критерия L₁.

П ример: допустимое мн-во неограниченно. Видно разное поведение критериев, приводящее к различ. результатам.

а) Значение критерия L₁ улучшается в направлении неограничености множества и, критерий неограничен на допустимом множестве, он может улучшаться до ∞ – допустимые решения есть, а оптимального нет.

б) Улучшение критерия L₂ ограничено на допустимом множестве, решение существует.

П ример: пересечение допустимых множеств, порождаемых тремя функциональными ограничениями задачи и условиями неотрицательности переменных, - пустое; допустимых решений нет и задача неразрешима.

Т.о, если задача ЛП разрешима, то оптимальное решение обязательно достигается в вершине допустимого множества; оптимальное решение следует искать не на всей границе, а только в вершинах доп. множества.