Транспортная задача

Транспортная задача - это модель ситуации, в которой требуется найти оптимальный план перевозки некот. груза из конечного числа пунктов отправления с заданными объемами производства в конечное число пунктов назначения с требуемыми объемами потребностей при известных затратах на перевозку единицы груза между каждой парой пунктов поставки и потребления. Удельные затраты не зависят от количества перевозимого груза. Здесь под оптимальным понимается план, минимизирующий суммарные затраты на перевозки. Пример: задача с двумя пунктами отправления и тремя пунктами назначения. а₁ и а₂ – количество груза, которым располагают пункты отправления, b₁, b₂, b₃ – потребности в грузе пунктов назначения.

Задача сбалансированная, если суммарная потребность равна суммарной возможности:

Пункты	B1	B2	B3	Кол-во груза
A1	С11 Х11	С12 Х12	С13 Х13	a1
A2	С21 Х21	С22 Х22	С23 Х23	a2
Потр-ть	b1	b2	b3

Обозначения: xij - количество груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения; Сij – затраты на перевозку единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, получим таблицу

Необходимо минимизировать суммарные затраты по перевозке, целевая функция запишется в виде L=C₁₁x₁₁ + C₁₂x₁₂ + C₁₃x₁₃+ C₂₁x₂₁ + C₂₂x₂₂ + C₂₃x₂₃→min.

Каждый ПН должен получить треб. количество груза. B₁: x₁₁+x₂₁=b₁; B₂: x₁₂+x₂₂=b₂; B₃: x₁₃+x₂₃=b₃.

Поскольку задача сбалансированная, весь груз из ПО дб вывезен. Это требование отражается в модели двумя равенствами: А₁: х₁₁+х₁₂+х₁₃=а₁; А₂: х₂₁+х₂₂+х₂₃=а₂.

Наконец, физический смысл переменных накладывает на них ограничение неотрицательности

x_ij0.

В результате мы получили модель транспортной задачи, содержащей только линейные функции. Очевидно, что характер модели не изменится при увеличении числа пунктов.

8. Формы представления задач лп и способы приведения к ним. Каноническая форма задач лп

Задача ЛП представлена в канонической форме, если в ее модели все функциональные условия имеют вид равенств и все переменные ограничены по знаку. Направление цели не имеет существенного значения, для однозначности канонического представления будем иметь в виду максимизацию критерия. Модель задачи:

Векторно-матричные представления: L = max

или

С– вектор коэффициентов целевой функции; A_j - векторы условий, j= В– вектор ограничений (свободных членов); А– матрица условий; Х– вектор переменных; – число переменных в канон. форме, >= числа переменных в исходной модели

Любую задачу ЛП можно привести к каноническому виду. Возможны 3 случая несоответствия исходной модели каноническому представлению.

1.Если в исходной постановке критерий минимизируется, то изменив знак критерия на обратный, приходим к задаче максимизации, т.е. если то

2.В исходной модели есть неравенства. При этом способ преобразования зависит от знака неравенства. В случае неравенства очевидно, что разность правой и левой части будет неотрицательной и неизвестной величиной, которую можно принять за новую переменную: Отсюда получаем следующее равенство: Аналогично при неравенстве Новая переменная (дополнительная, >=0)- разность левой и правой части и равенство записывается в виде

3.Некоторые переменные исходной модели не имеют ограничения на знак. Исключение таких переменных производится следующим способом.

Пусть – переменная, которая может иметь любой знак. Введем две неотрицательные переменные и во всей модели заменяем их разностью:

Таким образом, последние два случая преобразования к каноническому виду приводят к увеличению числа переменных, и поэтому всегда

Исходная модель: Каноническая модель: