Целевое программирование (цп)

Вместо максимизации (минимизации) критериев ставится задача оптимального приближения к желаемым значениям критериев, которые называют также уровнями притязаний ЛПР - , и представляют собой цель, к которой следует стремиться. Желаемые значения , какими бы они ни были, не могут явиться причиной неразрешимости.

Притязания ЛПР могут быть выражены по-разному в зависимости от смысла критерия:

1) не меньше ; 2) не больше ; 3) равно ; 4) принадлежать диапазону [ ] .

Как правило, множество решений, на котором достигаются одновременно все уровни притязаний, не пересекается с допустимым множеством - утопическое. Утопическое множество решений не обязательно должно быть непустым. В то же время утопическое множество в критериальном пространстве пустым быть не может.

При целевом программировании изменяется модель задачи:

- к исходным условиям задачи добавляются так называемые целевые ограничения, отражающие уровни притязаний;

- с целевыми ограничениями в модель вводятся новые переменные, имеющие смысл отклонений от желаемых значений исходных критериев;

- критерий в модели ЦП строится как функция новых переменных.

Пусть, например, исходная задача содержит 4 критерия и ЛПР выдвигает по ним разные варианты притязаний: , , , .

Тогда целевые ограничения будут иметь вид: , , , , , . где – переменные-отклонения, характеризующие недостижение , – переменные-отклонения, означающие превышение . Все эти отклонения нежелательны. Поэтому в модели ЦП цель выражается минимизацией переменных-отклонений. Так как число этих переменных больше единицы, мы снова имеем многокритериальную задачу, в которой роль критериев играют переменные . Для ее решения могут быть применены способы, описанные выше:

• лексикографическое упорядочение ;

• линейная свертка

• минимаксная свертка

Если исходная модель задачи линейная, то и модели ЦП во всех случаях, кроме последнего, также линейны.

Принципиальной особенностью целевых Ограничений является то, что они не сужают исходную областью, а наоборот, расширяют, переводя ее в пространство решений большей размерности (за счет переменных d_i). Поэтому они не могут быть причиной неразрешимости задачи. Последнее свойство следует также из того, что на переменные-отклонения не накладывается требование равенства нулю, а значит, всегда найдутся такие неотрицательные d_i, которые обеспечат выполнение целевых ограничений.

59. Диалоговые методы решения задач по многим критериям.

Интерактивный процесс решения многокритериальной задачи реализуется путем диалога ЛПР с компьютером. При этом происходит чередование этапов вычислений, выполняемых компьютером, и корректировки и принятия решений ЛПР. В интерактивном процессе может развиваться формирование предпочтений, компромиссов и даже системы ценностей.

Метод уступок

П редварительно ЛПР ранжирует критерии по важности. В результате критериям присваиваются номера в порядке убывания важности. После этого начинается основная часть диалога. Решается задача максимизации первого критерия при Х D. Если задача имеет множество оптимальных решений, то на нем ищется решение, наилучшее по второму критерию. Если и оно не единственно, то включается третий критерий, и так до достижения единственного решения. ЛПР предъявляется полученное решение X¹ со значениями всех критериев. ЛПР анализирует это решение и если оно его не устраивает, диалог продолжается. ЛПР просят указать, на какую величину он согласен снизить значение первого критерия с тем, чтобы улучшить значение второго. В результате формируется новая задача: f₂(X) max, f₁(X) , X D,

где - уступка по первому критерию. Снова ищется решение.

ЛПР оценивает предъявленное ему новое решение X² и прежде всего улучшение второго критерия, которое определяется как разность в двух решениях: f₂(Х²)-f₂(X¹). За такое увеличение f₂ он платит цену, равную . Если значение f₂(Х²) не удовлетворяет ЛПР, он может увеличить уступку и снова решить задачу. Возможность улучшения значения одного критерия за счет другого показана на рис. Решение по первому критерию соответствует точке B. Введение уступки позволяет получить решение с лучшим значением f₂ (точка A). Если решение X² не обеспечивает приемлемого значения f₃, ЛПР должен назначить уступку по второму критерию - . Тогда решается задача f₃(Х)=> max, f₁(X) , f₂(X) , X D.

Аналогично формируются задачи по остальным критериям, если их значения не устраивают ЛПР. В процессе поиска наилучшего решения ЛПР может возвращаться на любое число шагов назад, изменять свои уступки и получать новые решения. Тем самым он выявляет количественные взаимосвязи (замещения) критериев, что облегчает выбор окончательного решения.

П ример: Пусть ЛПР представил ранжирование критериев в виде: f₁, f₃, f₂. Максимум f₁ достигается в точке А, где =12, f₃=-30, f₂=18. ЛПР не удовлетворен значением критерия f₃ и готов пойти на снижение критерия f₁ на величину =7. В соответствии с рассмотренной процедурой в условия задачи вводится новое ограничение

f₁(X) или в явном виде -3x₁+2x₂ 5.

В результате допустимое множество сузится до треугольника AMN. Найдем решение, максимизирующее f₃ на этом множестве. Оно лежит в вершине N, где f₁=5, f₃=-12,5 и f₂=7,5.Таким образом, за счет снижения первого критерия на 7 единиц увеличилось значение третьего критерия (второго по важности) на 17,5. Однако ЛПР не устраивает значение критерия f₂. Чтобы повысить его, ЛПР согласен уменьшить f₃ до -18, то есть уступает =5,5. Тогда условия задачи дополняются еще одним ограничением f₃(X) -18 или -2x₁+ 5х₂ 18,

и допустимое множество уменьшается до треугольника NPQ.

Максимизируя f₂, получим решение в точке Q со значениями критериев: f₁=5, f₃=-18, f₂=16. Как видно, второй критерий увеличился на 8,5 за счет снижения третьего на 5,5. Анализируя полученное решение, ЛПР либо принимает его за окончательное, либо, изменив уступки, продолжает поиск.

Нетрудно убедиться в том, что решения формируемых задач, если они единственны, принадлежат паретовскому множеству исходной многокритериальной задачи.