Решение на основе лексикографического упорядочения критериев

Предпочтения ЛПР выявляются до поиска наилучшего решения. Метод применим, если для ЛПР приемлемо ранжирование критериев по важности и при этом предпочтительным является то решение, в котором лучше значение более важного критерия независимо от значения всех менее важных критериев. Лексикографическое отношение определяется следующим образом. Для двух векторов и имеет место отношение тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

1. >

2. > (10.15)

………

m) > .

В этом случае говорят, что вектор Y лексикографически больше вектора .

Лексикографически-оптимальное решение достигается в процессе решения следующей последовательности задач:

1. находим при условии ;

2. находим при условии ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

m) находим при условии .

Процесс решения прекращается, как только очередная задача из этой последовательности дает единственное решение. Нетрудно показать, что такая процедура приводит к решению многокритериальной задачи, которое принадлежит парето-оптимальному множеству. В то же время, если остановиться на задаче, имеющей не единственное решение, то нельзя гарантировать, что полученное решение является эффективным (оно может быть слабо эффективным).

В случае линейной модели решение последовательности отдельных задач можно объединить в один симплекс-процесс, что значительно снижает трудоемкость решения. Для этого применяют лексикографический вариант симплекс-метода.

58. Методы главного критерия, свертки, идеальной точки, целевого програм-я. Метод главного критерия

ЛПР выделяет главный критерий (далее f₁(X)), а на остальные критерии накладывает требования – пороговое значение t_i. Получается однокритериальная задача

Если эта задача разрешима, то ее решение всегда является слабо эффективным, а если оно единственно, то и эффективным. Практически задачу решают для нескольких наборов значений {t_i}, и затем на основании анализа полученных (слабо) эффективных решений ЛПР определяет наиболее предпочтительное из них. Рассмотренный метод целесообразно применять, когда ЛПР может обоснованно назначить значения t_i или указать узкие пределы для них.

Линейная свертка

Если ЛПР может дать сравнительную количественную оценку значимости (важности) критериев, решение многокритериальной задачи сводится к обычной задаче с одним критерием, в качестве которого берется обобщенный показатель вида , где С_i- положительные числа, отражающие веса критериев в структуре предпочтений ЛПР. Обычно значения С_i нормируются так, чтобы =1. Целесообразно все критерии приводить к одним единицам измерения - представлять критерии в относительных единицах, беря за базовое максимальное или желаемое значение. Достоинство метода – в стандартности задачи, к которой сводится исходная многокритериальная проблема.

При нелинейной свертке критерий записывается в виде: F(X)= max.

Метод идеальной точки

Идеальной или точкой абсолютного максимума называют точку в критериальном пространстве, в которой все критерии достигают своих максимальных значений: .

Е сли эта точка принадлежит достижимому множеству G, то все эффективное (паретовское) множество состоит из этой единственной точки и проблемы как таковой в этом случае нет. Однако идеальная точка обычно лежит вне множества G и поэтому нереализуема. Идея метода состоит в том, чтобы на множестве G найти точку, наиболее близкую к идеальной. Мерой близости выступает некоторая функция расстояния , в качестве которой используют в общем случае взвешенные L_p-метрики , где р может быть любым целым положительным числом и . Так как возведение в степень является монотонным преобразованием, то на положение экстремума оно не влияет. Таким образом, многокритериальная задача сводится к минимизации функции где - веса отклонений, задаваемые ЛПР ( =1, >0). На практике чаще используют значение р=2. Минимизация такой функции приводит к эффективному решению. Целесообразно использовать отклонения в относительных единицах, для чего выражение в квадратных скобках можно разделить на .