53. Дп: снижение размерности с помощью множителей Лагранжа

(Примеры из билета 52) Пример: В задаче 1 состояние описывалось двумя параметрами, что обусловливалось наличием двух ограничений. Для уменьшения размерности на 1 достаточно из модели убрать одно из ограничений, удаляемое ограничение включить в критерий задачи с неопределенным множителем Лагранжа l. Модель задачи:

Так как 1 ограничения не связывают между собой переменные y_j, то есть они стали независимыми, то справедлива следующая цепочка равенств:

где . Функции h_j(x_j) имеют смысл, если максимум достигается при конечных значениях y_j. Вычисление функции h_j(x_j) при фиксированном значении заключается в нахождении максимума функции одной переменной для всех возможных значений x_j, что не вызывает особых затруднений (для дифференцируемых R_j(x_j,y_j) максимум можно найти аналитически). При известных h_j(x_j), j=1,N задача сводится к следующей: Получили задачу распределения одного ресурса. Для решения ее методом ДП введем последовательность функций , где V - параметр состояния, значения которого не превосходят X. Рекуррентное соотношение: f_k(V) = max[h_k (x_k)+ f_k-1(V-x_k)],

в котором f₁(V)= h₁(V), =V. Вычисления проводятся, как обычно, от f₁ к f_N, затем в обратном порядке - безусловная оптимизация, начиная с V=X, которая дает значения . По последним из функций h_j(x_j) находятся значения . Если  =Y, то найденное решение , является оптимальным решением задачи. В противном случае придется продолжить расчеты. При невыполнении условия нужно изменить значение и повторить весь расчет, начиная с вычисления функций h_j(x_j).

Теперь покажем эквивалентность исходной и преобразованной задач и, понимая под этим совпадение решений. Доказательство от противного. Имея оптимальное решение измененной задачи , , предположим, что оптимальное решение исходной задачи иное, а именно, , . Тогда для критерия исходной задачи должно выполняться неравенство

. (1) Так как å =Y по условию исходной задачи, а å =Y по алгоритму решения измененной задачи, то å =å . Вычитание одной и той же величины, умноженной на , из левой и правой частей выражения (1) не меняет знак неравенства:

. Но здесь и слева, и справа имеем выражение критерия измененной задачи, по которому оптимальным является решение , . Таким образом, неравенство, вытекающее из допущения существования разных решений, противоречит исходной посылке и потому такое допущение неверно, что доказывает совпадение решений исходной и измененной (эквивалентной) задач.

Для задачи 2 применение метода множителей Лагранжа реализуется проще. Модель измененной задачи можно записать по аналогии с вышеприведенным случаем в виде:

Для функций последовательности, определенных как

справедливо следующее рекуррентное соотношение

Как видно, здесь нет дополнительных функций h_j и вычисления можно проводить сразу по рекуррентной формуле, задавшись предварительно значением . После нахождения решения проверяется условие å )£B и, если оно не выполняется, то необходимо изменить значение и повторить расчет. Таким способом достигается эквивалентность исходной и измененной задач и получение оптимального решения с помощью последовательности функций, зависящих только от одного параметра состояния.

В общем случае, когда вектор состояния исходной задачи имеет размерность m, можно использовать q множителей Лагранжа (q<m), что позволит снизить размерность вектора состояния измененной задачи до m-q. При этом выполнение исключенных из условий исходной задачи q ограничений может быть обеспечено управлением таким же числом множителей Лагранжа. Однако увеличение размерности вектора состояния и соответственно числа множителей Лагранжа ведет к значительно более быстрому росту трудоемкости решения измененной задачи. Поэтому проблема "проклятия размерности" остается, ограничивая применение метода ДП задачами с небольшим числом параметров состояния.