51. Дп: задача об инвестициях.

Задача характеризуется как задача в условиях риска: мы знаем лишь вероятности того, какой мы получим доход от вложения средств в i-ый период.

Нужно рассчитать план инвестиций на n периодов.

На начало периода имеются средства в количестве Х.

В начале периода акции покупаются, в конце продаются.

Доходность на единицу вложения является случайной величиной. Есть m возможных ситуаций, каждой из которых соответствуют своя вероятности , того что доход будет .

– это доход в j-ый период на i-ой ситуации, которому соответствует вероятность .

Переменными в задаче будут тот объём средств , который мы можем вложить в j-ый период, причём , т.е. объём инвестиций в периоде не может превысить объём средств имеющихся на начало периода.

Критерием является ожидаемый доход.

Нумеровать будем с конца.

Переменная состояния: количество средств на начало периода.

Ожидаемый доход за последниеkшагов.

Для учёта инфляции (дисконтирования дохода) можно ввести коэффициент в формулу, который показывает инфляцию в j-ый период:

52. Дп: многомерные задачи и проблемы решения.

Если размерность вектора S (число параметров состояния) больше 1, то говорят, что задача многомерна в смысле ДП. Многомерные задачи порождают определенные проблемы при реализации вычислительной схемы метода ДП. Примеры.

Задача 1. Необходимо распределить два вида ресурсов в объеме X и Y соответственно между N производствами при известных функциях прибыли R_j(x_j,y_j), j=1,N. Здесь x_j, y_j - количество ресурса 1-го и 2-го вида, потребляемое j-м производством.

Запишем модель задачи:

Задача представима как N-шаговая (по числу производств). При выделении ресурсов одному из производств изменяется объем ресурсов, направляемых на остальные производства. Поэтому состояние характеризуется двумя параметрами: количеством ресурса 1-го вида V и 2-го вида U (V£X, U£Y). Введем последовательность функций:

и рассмотрим k оставшихся производств (шагов), между которыми нужно распределить ресурсы в количестве V и U. Приняв решение о выделении k-му производству произвольного допустимого количества ресурсов x_k и y_k, будем иметь прибыль от этого производства R_k(x_k,y_k), а на остальные k-1 шагов останется ресурсов V-x_k 1-го вида и U-y_k 2-го вида. Следуя принципу оптимальности, распределим оставшиеся ресурсы оптимальным образом f_k-1(V-x_k ,U-y_k ). Прибыль от всех k шагов составит R_k(x_k, y_k)+ f_k-1(V-x_k, U-y_k). Рекуррентное соотношение:

Задача 2. Распределению подлежит один вид ресурса, но в системе имеются ограничения, связанные с его использованием. Это могут быть ограничения на общий объем, вес, габариты, стоимость и др. Рассмотрим случай двух ограничений, согласно которым фактические значения учитываемых показателей использования ресурса не могут превышать величин A и B. Тогда модель задачи можно представить в виде:

где x_i - количество ресурса, выделяемое i-му потребителю; Z_i(x_i) - показатель эффективности i-го потребителя; j_i(x_i), y_i(x_i) - функции ограничиваемых показателей. Ограничивающие показатели a и b выступают в качестве параметров состояния (a£A, b£B). Определим функции последовательности:

Рекуррентное соотношение:

Увеличение числа параметров состояния для задачи 1: Решение уравнения проводится для всех возможных состояний. Число таких состояний зависит от шага дискретности и числа параметров состояния. Пусть m_x и m_y - число возможных значений ресурсов X и Y соответственно, тогда число возможных состояний будет равно m_xm_y. Для каждого из них в результирующей таблице решения уравнения на k-м шаге должны быть представлены V, U, , и f_k(V,U). Вынос этих таблиц во внешнюю память сделает метод ДП практически малопригодным, так как затраты времени на решение задачи многократно увеличатся. Решение многомерных задач наталкивается на проблему реализации вычислений по рекуррентным соотношениям. Одним из путей решения возникшей проблемы является использование множителей Лагранжа.