50. Дп: организация выпуска m видов продукции.

Фирма ежемесячно выпускает m видов продукции, на которые имеется равномерный спрос. По каждому виду продукции известны: С_1i - затраты на хранение единицы продукции i-го вида в единицу времени; С_2i - затраты на запуск в производство одной партии i-го вида; R_i - месячный спрос на продукцию i-го вида. Для выпуска одной партии требуется один цикл производства. Изменение числа партий приводит к изменению затрат на производство одного и того же количества продукции. В течение месяца фирма может организовать не более N циклов. В этих условиях нужно так организовать производство, чтобы при полном удовлетворении спроса обеспечить минимальные затраты фирмы.

Д опущение: время выпуска партии много меньше продолжительности цикла и поэтому им можно пренебречь. График изменения уровня готовой продукции на фирме представлен на рис

где - объем партии продукции i-го вида; t_i - продолжительность цикла по i-му виду продукции (в долях месяца).

Затраты на хранение и выпуск партии i-го вида продукции за время 1 цикла - а т.к кол-во циклов, необх. для выпуска продукции в объеме R_i: то затраты на весь объем продукции i-го вида: .

Критерий задачи . Ограничения

Параметр состояния - n - максимальное количество циклов, которое может быть организовано для выпуска продукции (1nN), Шаг - организация выпуска одного вида продукции. Введем последовательность функций {f_n(n)}, так, что каждая функция определяется как минимальные затраты на выпуск k видов продукции в заданных количествах при условии, что можно организовать до n циклов, то есть Опущен индекс у n, так как он совпадает с индексом функции. Затраты на k видов: Q_k(u_k) + f_k-1(n-u_k). Уравнение состояния n_k-1=n_k –u_k . Рекуррентное соотношение .

	1	2	3
	1	2	1
	10	8	5
	320	200	490

В ыпуск продукции оговорен величиной R_i, поэтому, чтобы обеспечить выпуск k-1 видов продукции, нужно иметь хотя бы по одному циклу на каждый вид и, следовательно, максимальное число циклов на k-й вид равно n-(k-1). Первая функция: . Пример: 3 вида продукции, N=7. Условная оптимизация начинается с вычисления функции f₁. При этом можно воспользоваться классическим методом, так как требуется найти минимум дифференцируемой функции на интервале. Приравняв первую производную выражения в скобках правой части нулю, найдем стационарную точку . С учетом ограничений на u₁ оптимальное решение будет иметь вид:

n	1	2	3	4	5	6	7
	1	2	3	4	4	4	4
	170	100	83,3	80	80	80	80

где [ ]- целая часть . По исходным данным получаем =9. Расчетная формула: , по которой составляем табл.

На втором шаге расчет ведем по рекуррентной формуле: где .

		n
U2	Q2(u2)	1	2	3	4	5	6	7
		f1(n)
		170	100	83,3	80	80	80	80
1	208	-	208 170 378	208 100 308	208 83,3 291,3	208 80 288	208 80 288	208 80 288
2	116		-	116 170 286	116 100 216	116 83,3 199,3	116 80 216	116 80 216
3	90,7			-	90,7 170 260,7	90,7 100 190,7	90,7 83,3 174,0	90,7 80 170,7
4	82				-	82 170 252	82 100 182	82 83,3 165,3
5	80					-	80 170 250	80 100 180
6	81,3						-	81,3 170 251,3
		-	1	2	2	3	3	4
		-	378	286	216	190,7	174	165,3

Находить минимум будем перебором допустимых u₂. Для удобства ручных расчетов в промежуточную таблицу предварительно внесем во второй столбец значения Q₂(u₂) для всех возможных u₂ и во вторую строку значения f₁(n), взятые из 1. Для отыскания минимума сначала фиксируем состояние, то есть значение n, а затем ведем перебор u₂. Начнем с n=1. Расчет выпуска двух видов продукции в этом случае теряет смысл, так как на 2-й вид не остается ни одного цикла - во всех клетках столбца с этим значением n ставим прочерк. Берем n=2. При этом возможен только один вариант: на 2-й вид продукции отводится один цикл. Соответствующие затраты составят

Q₂(1) + f₁(2-1)=208+170=378,

Эти значения затрат и числа циклов являются оптимальными относительно состояния n=2 и поэтому их записываем в клетки нижних строк как значения u₂^* и f₂(n). Теперь фиксируем n=3 и вычисляем затраты u₂: при u₂=1 Q₂(1) + f₁(3-1)=208 + 100=308, при u₂=2 Q₂(2) + f₁(3-2)=116 + 170=286.

		n
U3	Q3(u3)	2	3	4	5	6	7
		f2(n)
		378	286	216	190,7	174	165,3
1	250	-	250 378 628	250 286 536	250 216 466	250 190,7 440,7	250 174 424
2	132,5		-	132,5 378 510,5	132,5 286 418,5	132,5 216 348,5	132,5 190,7 323,2
3	96,7			-	96,7 378 474,7	96,7 286 382,7	96,7 216 312,7
4	81,2				-	81,2 378 459,2	81,2 286 367,2
5	74					-	74 378 452
		-	1	2	2	2	3
		-	628	510,5	418,5	348,5	312,7

Теперь переходим к третьему шагу расчета, Рекуррентная формула:

.

Схема расчета полностью идентична 2-му шагу, но расчет по трем видам продукции приобретает смысл начиная с n=3.

Далее следует безусловная оптимизация. Пусть для выпуска трех видов продукции можно организовать 5 циклов (N=5). Тогда по начальному состоянию n=5 входим в табл. 3 Из нее устанавливаем, что минимальные затраты на три вида продукции составляют 418,5, при этом по 3-му виду должно быть организовано 2 цикла, то есть весь заказ выполняется двумя запусками. На остальные два вида остается 3 цикла. Поэтому по состоянию n=3 входим в табл. 2, и извлекаем из нее u₂^*=2,. Соответствующая величина f₂(3)=286 означает затраты на 1-й и 2-й виды продукции при оптимальной организации производства. Новое состояние n=3-2=1 определяет вход в табл. 1, из которой берем u₂^*=1, и тем самым завершаем нахождение оптимального решения.