47. Динамическое программирование (дп): принцип оптимальности, функциональное уравнение, процедура дп.

К онцепция метода проистекает из следующего свойства оптимального решения. Пусть оптимальный путь из точки A в точку E проходит через точки B, С и D. Тогда любая часть этого пути является оптимальным путем. Принцип оптимальности - оптимальное управление определяется конечной целью управления и состоянием системы в рассматриваемый момент, независимо от того, каким образом она пришла в это состояние; при фиксированном состоянии системы последующее оптимальное решение не зависит от ее предыстории. Он позволяет разложить задачу на ряд задач значительно меньшей размерности. Имеются в виду задачи, которые могут быть представлены как многошаговые. Такие задачи описываются математической моделью, в которой и критерий, и ограничения являются составными. Под составной понимается функция f, образованная частными функциями (подфункциями) f_i, к которым применен один и тот же оператор вхождения (например, оператор сложения), т.е. f=(<оператор> <f₁, f₂,...,f_m>).

Количество шагов в задаче определяется числом подфункций критерия. При разбиении задачи на шаги состояние (параметр состояния) служит связующим звеном между смежными шагами. Состояние описывается теми переменными системы, которые зависят от решения на предшествующем шаге и знание которых достаточно для принятия решения на очередном шаге.

Как работает метод дп

Д П предлагает конструировать оптимальный путь по частям - представить задачу как многошаговую. Разместим условно все входы на одной вертикальной прямой, все узлы, которые встречаются первыми на пути от входов к выходам, - на другой прямой. Также поступим со второй и другими группами узлов и, наконец, с выходами. Получим схему лабиринта.

Построение оптимального пути можно начинать с 1-го или 4-го шага, но предпочтительнее с 4-го - обратная прогонка. Будем искать оптимальное решение для каждого из узлов, в котором можем оказаться перед 4-м шагом (это узлы 8,9 и 10). Фиксируем узел 8 и из четырех значений времени перехода из него к выходам выбираем наименьшее. Соответствующий переход может принадлежать оптимальному пути. Узлу 8 приписываем этот переход и найденное минимальное время, которое обозначим как t₈. Аналогично поступаем, фиксируя узел 9, а затем 10. В результате получим t₉ и t₁₀ соответственно и переходы, на которых достигаются эти минимальные значения времени. Тем самым завершается первый этап построения оптимального пути.

Теперь полагаем, что осталось совершить 3-й и 4-й переходы. Фиксируем узел 4 и определяем минимальный путь из него к выходам. Достаточно сравнить только три: 1)время на переходе 4-8 плюс t₈; 2)время на переходе 4-9 плюс t₉; 3)время на переходе 4-10 плюс t₁₀. Минимальное значение приписываем узлу 4 (t₄) и выделяем жирной линией соответствующий переход на третьем шаге. Принципиальная особенность ДП: оптимальный переход на шаге 3 определялся не как самый короткий среди переходов этого шага, а как такой, который обеспечивает минимум времени от данного узла к выходу. Точно так же находим решения для узлов 5, 6 и 7. Опираясь на них, можно переходить к третьему этапу построения оптимального пути, охватывающему 2, 3 и 4-й шаги. Рассуждения аналогичны вышеприведенным. Последний, четвертый, этап охватывает все шаги. Найдя решение для 1-го шага, мы тем самым завершаем построение оптимальных путей. Двигаясь по полученному решению от входа к выходу, то есть в прямом направлении, последовательно находим переходы, составляющие оптимальный путь.