38. Сепарабельное и дробно-линейное программирование. Сепарабельное программирование (сп)

В СП рассматриваются задачи, в которых целевая функция и все функции ограничений сепарабельны. Функция многих переменных сепарабельна, если она имеет вид суммы функций отдельных переменных: f(x₁, x₂, ..., x_n) =

Линейные функции всегда сепарабельны и поэтому ЛП можно рассматривать как частный случай сепарабельного. Решение задач СП основано на преобразовании в задачи ЛП путем аппроксимации нелинейных функций кусочно-линейными. Поэтому рассматриваемый метод является приближенным, а точность решения напрямую зависит от точности аппроксимации и теоретически может быть сколь угодно высокой.

Возможно 2 варианта записи переменных:  - постановка

П редполагается, что переменные, которые входят в модель нелинейно, ограничены снизу и сверху: d_j  x_j  D_j. Для кусочно-линейной аппроксимации в этом диапазоне выбираются узловые точки, чаще там, где сильнее нелинейность функции. При этом первый узел совпадает с нижней границей, а последний – с верхней: X_j1= d_j, = D_j, где r_j – число интервалов по переменной x_j (r_j+1 – число узлов). Переменная x_j может быть выражена через новые переменные _jk в виде (1), , (2)

Выражение (1) называют уравнением сетки. С учетом (2) оно представляет переменную x_j в зад. диапазоне без потери точности. С использованием узловых точек и новых переменных кусочно-линейная функция, аппроксимирующая f_j(x_j), записывается в виде где f_j(X_jk) – значение функции в узловых точках. – функция, линей­ная относительно _jk. Пусть N – множество индексов нелинейных f_j(x_j). Ф-я, аппрокси­мирующая f(X), имеет вид (3)

Алгоритм: 1. для каждой переменной, входящей нелинейно, записать уравнение сетки; 2. во всей модели заменить переменные из п.1, входящие в линейные f_j , соответствующими уравнениями сетки; 3. все функции, содержащие нелинейности, представить в виде (3); 4. добавить ограничения (2) для всех новых переменных.

Если переменная x_j входит нелинейно в несколько функций, узлы сетки выбираются с учетом нелинейности всех таких функций, так как для одной переменной может быть только одно уравнение сетки.Правило смежных весов: из одного уравнения сетки отличными от нуля могут быть не более 2-х переменных _jk со смежными значениями k.

-постановка

Построение аппроксимирующей задачи основано так же на кусочно-линейном приближении, но меняется уравнение сетки. По узлам сетки вычисляются расстояния между смежными узлами (длины интервалов) _jk = X_jk+1 – X_jk и уравнение сетки записывается в виде x_j = d_j + ; 0  y_jk  1, где y_jk – новые переменные.

Из представления переменной следует: x_j = d_j, когда  y_jk =0; x_j находится в первом интервале, когда y_j1  (0, 1), остальные y_jk=0; x_j находится во втором интервале, когда y_j1=1, y_j2  (0, 1), остальные y_jk=0; x_j находится в k-ом интервале, когда y_j1 = y_j2 = ... = y_jk-1 = 1, 0  y_jk  1, остальные y_jk=0.

Таким образом, для правильной аппроксимации должно выполняться установленное соответствие между значениями переменной x_j и y_jk. Это требование аналогично правилу смежных весов. При ином представлении значения x_j будет нарушена кусочно-линейная аппроксимация функции. Для аппроксимации нелинейной составляющей функции критерия вычисляются разности ее значений в смежных узлах _jk = f_j (X_jk+1) – f_j (X_jk), с помощью которых записывается аппроксимирующая функция Функция, аппроксимирующая критерий:

А налогично аппроксимируются ограничения _ij(x_j): Как и в -постановке, если имеет место задача выпуклого программирования, то требования к переменным y_jk выполняются автоматически и полученное решение будет приближенным глобальным решением исходной задачи. В противном случае, необходимо придерживаться правила ограниченного ввода относительно переменных y_jk: если первые k переменных равны единице, вводить можно только y_jk+1.