34. Метод ветвей и границ.

Это концепция, на основе которой стали разрабатывать алгоритмы решения целочисленных задач различной природы. Метод заключается в построении дерева задач, корнем которого является исходная задача, возможно без условия целочисленности (НЗ). Нижележащие задачи порождаются вышележащими так, что их допустимые множества (ДМ) являются непересекающимися подмножествами ДМ вышележащей задачи. Рост дерева происходит за счет перспективных ветвей. Перспективность определяется по оценке критерия терминальной задачи ветви V и рекорду Z. Оценка V– это значение критерия, заведомо не хуже оптимального, а Z – достигнутое в процессе решения значение критерия исходной задачи (в качестве начального может приниматься значение, заведомо хуже оптимального). Задача будет порождающей только при условии, что ее оценка лучше рекорда. Уровень, на котором находится задача, не имеет значения.

Р ассмотрим метод применительно к линейной целочисленной задаче. Используется разбиение на две задачи, то есть строится бинарное дерево. При этом для целочисленных множеств выполняются соотношения

Если, например, V₂₂ окажется хуже рекорда или D₂₂=, правая ветвь обрывается (она прозондирована). Если же оценка V₂₂ будет лучше Z, производится ветвление: множество D₂₂ разбивается на 2 подмножества. Решение завершится, когда все ветви будут прозондированы. Вид оценки зависит от направленности критерия: при максимизации используется верхняя оценка, при минимизации – нижняя. Будем рассматривать задачу на максимум.

Необходимо решить два основополагающих вопроса:

1. Каким образом разбивать перспективное множество на подмножества;

2. Как определять верхнюю оценку критерия на рассматриваемом множестве.

Ответы на них зависят от типа задачи (частично или полностью целочисленная, имеет особые свойства или нет, с булевыми переменными). Рассмотрим общий случай.

П усть известен диапазон возможных значений j-й переменной 0  х_j  d_j, которая в непрерывном оптимальном решении оказалась нецелочисленной и равной x_j^*. Целочисл. значение этой переменной может достигаться либо в интервале 0  х_j  , либо в интервале +1 х_j  d_j, где - целая часть . Это соответствует разбиению непрерывного множества D^н на два непересекающихся подмножества D₁^н и D₂^н, объединение которых не равно D^н. Поиск целочисленного решения на непрерывном множестве даст тот же результат, что и на целочисленном. Приведенное выделение подинтервалов по одной переменной приводит к разбиению исходного множества на два подмножества при любом числе переменных. Так как целочисленное множество является подмножеством соответствующего непрерывного, оптимальное значение критерия на непрерывном множестве всегда будет не меньше, чем на целочисленном. Поэтому в качестве верхней оценки V можно брать оптимальное значение критерия L^* непрерывной задачи. Выбор начального значения рекорда зависит от ситуации:

• если известно какое-либо целочисленное значение, то рекорд принимается равным критерию в этом решении;

• при положительности всех коэффициентов критерия можно взять нулевое значение рекорда;

• в иных случаях за начальное значение рекорда берется –М, где М- максимально представимое в компьютере число.

По ходу разбиения формируются порождаемые задачи, которые помещаются в список задач. Первоначальный список содержит только одну задачу – исходную задачу без условий целочисленности. И в последующем список будет содержать только непрерывные задачи. Алгоритм:

1. Задается начальное значение рекорда и в список задач помещается исходная задача без требования целочисленности переменных.

2. Анализируется список задач: если он пуст, то переход на шаг 6. Иначе выбирается одна из задач с удалением ее из списка.

3. Выбранная задача решается одним из методов ЛП. Если задача неразрешима или оптимальное значение критерия L*  Z, ветвь обрывается (задача прозондирована). Переход на шаг 2.

4. Полученное решение анализируется на целочисленность. Если решение целочисленное, оно фиксируется, рекорду присваивается оптимальное значение критерия решенной непрерывной задачи (Z:=L*), ветвь обрывается и осуществляется переход на шаг 2.

5. Выбирается одна из переменных, имеющих нецелочисленные значения. По ней производится ветвление: порождаются 2 задачи, одна образуется присоединением к решенной (родительской) задаче условия х_j  , другая – добавлением к родительской ограничения х_j +1. Заносятся в список задач. Переход на шаг2.

6. Вывод результатов (если значение рекорда больше начального, получено оптимальное решение исходной задачи, иначе задача неразрешима).

Приведенный алгоритм является базовым, так как не включает однозначных правил выбора задачи из списка и ветвящей переменной. Для частично целочисленных задач при выборе переменной для ветвления исключаются непрерывные переменные.

Число решаемых задач существенно зависит от выбора задачи из списка и переменной для ветвления. Из алгоритма следует, что ветвь обрывается по одной из трех причин:

1. неразрешимость задачи;

2. задача имеет целочисленное решение;

3. верхняя оценка не больше рекорда.

В базовом алгоритме не оговариваются правила выбора задачи и переменной.

Метода ветвей и границ имеет преимущества в сравнении с методом отсечений:

• накопление ошибок менее значительное, так как решение идет по разным ветвям;

• при принудительной остановке процесса решения высока вероятность получения целочисленного результата, но без установления его оптимальности;

• при решении непрерывных задач размеры симплекс-таблиц не увеличиваются.

Недостатки метода ветвей и границ:

• Нельзя оценить число задач, которые придется решать. Чем ближе снизу начальное значение рекорда и сверху оценка критерия задачи к искомому оптимальному значению критерия, тем меньше вершин будет иметь дерево решений, а значит, и затрат ресурсов. Однако завышение начального рекорда может привести к неразрешимости задачи.

• Отсутствие признака оптимальности. Оптимальное решение может быть получено задолго до останова алгоритма, но обнаружить это в общем случае нельзя. Оптимальность устанавливается только по исчерпании списка задач.

Очевидно, что эффективность метода повышается с уменьшением диапазонов значений переменных и числа нецелых переменных в решении первой непрерывной задачи.