29. Метод декомпозиции Данцига-Вулфа в общем случае.

М атематические преобразования, приводящие к разбиению исходной задачи. Пусть имеется следующая модель задачи: L=C^TXmax; AX=B; X0, где вектор X имеет размерность n, а вектор B – m. Условия определяют допустимое множество задачи D. Представим матрицу А и вектор В в виде двух подматриц:

Тогда условия задачи записываются: А⁽⁰⁾Х=В⁽⁰⁾; А⁽¹⁾Х=В⁽¹⁾; Х0.

1 условия, включающие m₀ равенств, порождают допустимое множество D₀, а система содержит m₁ равенств и вместе с Х0 задает множество D₁. Очевидно, что m=m₀+m₁, D= D₀  D₁. При этом выделение подматриц выполняется так, что m₁>>m₀.

Будем полагать, что множество D₁ ограниченное, является выпуклым многогранником. В противном случае его легко сделать ограниченным добавлением ограничений сверху на переменные так, что они не повлияют на исходное мн-во D.

Допустим известны вершины множества D₁. Обозначим их координаты через Х¹, Х²,…, Х^N, где N – число вершин. Поскольку D₁ – выпуклый многогранник, то любую его точку можно представить в виде линейной комбинации вершин:

Х= z_X^;  z_=1; z_0, v. Так как все решения Х принадлежат D₁, то данное описание эквивалентно первому. L = C^T z_X^; A⁽⁰⁾X^z_=B⁽⁰⁾. Считая X^ известными: С^ТХ^=_; А⁽⁰⁾Х^=Р_. Тогда: L= _z_max; P_z_=B⁽⁰⁾; z_=1; z_0.

Н еизвестными являются z_, число которых = числу вершин многогранника D₁. Последнее равенство модели можно объединить со всеми остальными, используя обозначения:

Тогда получим (координирующая/основная задача): L= _z_max; z_ = ; z_0.

Отличие этой задачи от исходной в меньшем числе условий (m₀+1<<m). Если мы сможем найти Z^*, то получим решение и исходной задачи: Х*= z_^*X^.

Для решения основной задачи применим модифицированный симплекс-метод. Начальное решение можно построить, не зная ни одной вершины, с помощью искусственных переменных z_N+i. Согласно модифицированному методу после получения очередного базисного решения вычисляются относительные оценки.

В обозначениях координирующей задачи:

или окончательно Мы не можем вычислить все оценки, так как нам не известно даже их число. Но этого и не требуется, достаточно только определить: есть или нет среди них отрицательные. Будем искать наименьшую оценку. Если она отрицательная, текущее решение координирующей задачи мб улучшено введением переменной с этой оценкой. Иначе - выполнение признака оптимальности.

Задача состоит в следующем: _min. или (^TA⁽⁰⁾-C^T)X^

Решение задачи проблематично, так как минимум ищется на дискретном множестве вершин многогранника D₁. Учитывая, что минимизируемая функция линейная, будем искать решение не на вершинах, а на всем многограннике. Известно, что если решение существует, то оно будет достигаться в вершине. Поэтому решение на всем (непрерывном) множестве D₁ совпадет с решением подзадачи.

Подзадачу заменяем эквивалентной (вспомогательная задача):

L _всп= (^TA⁽⁰⁾-C^T)X A⁽¹⁾X = B⁽¹⁾; X  0. Если вспомогательная задача неразрешима, то и исходная задача не имеет решения. Пусть оптимальное решение вспомогательной задачи достигается в вершине r. Т.е. становятся известны координаты вершины X^r и оптимальное значение критерия . Вычисляем минимальную оценку Если _r0, то и все оценки неотрицательны, и решение коорд. задачи завершено. При отрицательной _r в базис основной задачи вводится вектор :

Направляющий столбец находится разложением этого вектора по текущему базису:

. После определения направляющего элемента и симплекс-преобразования получаем новое решение основной задачи. Коэффициент критерия при переменной, введенной в базисное решение: _r =C^TX^r. Находим новый вектор , решаем вспомогательную задачу, по полученной мин. оценке вывод о дальнейших действиях.

Т .о, решение исходной задачи заменяется многократным решением основной и вспомогательной задач. Порядок размерности вспомогательной задачи такой же, как у исходной. Такой метод эффективен, когда сложность решения вспомогательной задачи намного ниже, чем исходной. Такие случаи имеют место, когда матрица условий задачи (после упорядочения строк и столбцов) оказывается почти-блочно-диагональной, как показано на рис. Пример: задача планирования производства продукции в крупной фирме или холдинге, когда у каждого предприятия своя номенклатура продукции, а некоторые ресурсы являются общими. Подматрица А⁽⁰⁾, входящая в параметры координирующей задачи, соответствует ограничениям по общим ресурсам – связующие условия. Их относят к основной задаче. Остальные условия образуют вспомогательную задачу. При этом подматрица А⁽¹⁾ имеет блочно-диагональную структуру, что позволяет разбить вспомогательную задачу на p независимых задач:

После решения этих задач определяется критерий вспомогательной задачи по формуле Решение вспомогательной задачи существенно упрощается, если структура матрица условий мб приведена к блочно-диагональной.