26. Приведение открытой модели транспортной задачи к закрытой.

В открытой или несбалансированной задаче имеет место неравенство

Прежде чем решать такую задачу, необходимо привести ее к сбалансированному виду. В зависимости от ситуации сбалансировать задачу можно формальным способом без обращения к ЛПР или с привлечением дополнительной информации от ЛПР.

Формальные приемы. Пусть в исходной задаче предложение превышает спрос:

Тогда условия задачи имеют вид

В каждое неравенство введем дополнительную переменную x_i_,_n₊₁. В сумме эти переменные должны равняться величине дебаланса:

получаем закрытую задачу:

П отребность b_n₊₁ - фиктивная. Чтобы сбалансировать задачу, достаточно ввести фиктивного потребителя с потребностью, равной дебалансу - к исходной таблице добавляется один столбец с потребностью b_n₊₁ и затратами C_i_,_n₊₁=0. Ненулевые дополнительные переменные в оптимальном решении будут показывать количество груза, остающееся в соответствующих ПО.

Второй случай несбалансированности задачи имеет место, когда спрос превышает предложение: . исходные условия:

В ведем в каждое неравенство дополнительную переменную x_m₊_1,_j. Сбалансированная модель:

Такое преобразование соответствует введению фиктивного поставщика (дополнительной строки) с возможностью a_m₊₁и нулевыми затратами C_m₊_1,_j. Дополнительная переменная x_m₊_1,_j имеет смысл количества груза, недопоставленного j-му ПН.

Этот способ будет неприемлем, если потребители по-разному реагируют на недопоставки. Тогда возможны два варианта решения задачи:

ЛПР корректирует потребности, обеспечивая баланс.
Выявляется и учитывается влияние недопоставок для каждого потребителя. Если зависимость потерь от величины недопоставки линейная, то задача остается в классе линейных. Задача балансируется как при формальном подходе, но в дополнительной строке в качестве затрат берутся удельные потери от недопоставки.

27. Трансп. Задачи в сетевой постановке, задача о кратчайшем пути. Транспортные задачи в сетевой постановке (транспортные сети)

Т ранспортную задачу можно представить в виде ориентированного графа с одним истоком (в него не входит ни одна дуга) и с одним стоком (из него не выходят дуги), - сеть. Вершины графа - ПО, ПН и промежуточные пункты. Параметр вершины – количество груза. Дуги отображают коммуникации. Им могут быть приписаны количество груза, затраты на перевозку, пропускная способность. Исходный граф транспортной задачи легко сводится к сети с одним стоком и одним истоком путем введения фиктивных пунктов t (исток) и s (сток). Фиктивным дугам приписываются значения параметров: d_ti=a_i, d_js=b_j, C_ti=C_js=0.

Модель Т_d-задачи в сетевой постановке имеет вид: C_ijx_ijmin; kt, ks; В сбалансированной транспортной задаче Z=a_i=b_j; 0x_ijd_ij.

В модели использованы обозначения: – множество дуг, входящих в вершину k и выходящих из нее, Z – новая величина - поток сети.

Алгоритм Дейкстры-Форда:

Суть задачи сводится к поиску самого короткого пути, который бы соединял две точки ориентированного графа. Суть алгоритма в постепенной пометке всех вершин графа, т.е. поиске наикратчайших путей от начальной вершины ко всем остальным.

Первая формула вычисляет длину пути от начальной вершины до данной непомеченной по указанному пути, а вторая формула выбирает какую вершину внести во множество помеченных вершин и с какой пометкой.

Т ак же используется проверка, что путь через новую помеченную вершину к какой-либо другой помеченной вершине не окажется меньше уже помеченного: . Если проверка не проходит, то меняем пометку у указной вершины.