24. Двойственность т-задач, эконом. Интерпретация потенциалов. Двойственная пара транспортных задач

Построим ДЗ Т-задачи. Предварительно изменим знаки в выражении критерия и в условиях по пунктам назначения. Тогда модель прямой задачи примет вид:

Модель ДЗ:

;

Если C_ij перенести в левую часть, условия двойственной задачи приобретают смысл признака оптимальности Δ_ij0. Если выполняются условия прямой и двойственной задач, решение оптимально. Потенциалы представляют собой переменные двойственной задачи. Из теорем двойственности известно, что в оптимальном решении критерии прямой и двойственной задач равны. Для рассматриваемой двойственной пары это означает, что

Отсюда:

Учитывая линейность, полный дифференциал:

Изменения a_i и b_j могут быть только равными, иначе нарушится сбалансированность задачи. Если положить, что a_i= b_j =1:

Разность потенциалов показывает, как изменится оптимальное значение критерия при одновременном изменении соответствующих потребностей и возможностей на единицу.

Экономическая интерпретация потенциалов

Потенциалы можно интерпретировать как локальные цены. Если цена в пункте отправления i равна U_i и груз из него доставляется в пункт назначения j по коммуникации ij, то локальная цена в ПН возрастет по отношению к ПО на величину транспортных затрат: V_j=U_i+ C_ij

Из этого соотношения также следует, что в оптимальном решении не может иметь место неравенство V_j >U_i+ C_ij,

так как оно означает, что локальная цена в пункте j выше, чем в случае прямой доставки из i в j.

25. Метод потенциалов для Td-задачи.

Транспортная задача с ограниченными пропускными способностями отличается от T-задачи наличием ограничений сверху на перевозки: 0  x_ij d_ij. Если задача не сбалансирована, то добавляют столбец или строку с нулевыми затратами, но с ∞ пропускной способностью. Начальное решение строят по правилу минимального элемента. Принцип определения значений переменных: на каждом шаге присваивается максимальное допустимое значение согласно формуле X_ij=min(ост от a_i, ост до b_j, d_ij).

Е сли минимум достигается на d_ij, то не закрывается ни строка, ни столбец, и следует продолжать движение по строке или столбцу (если двигались по столбцу). Может оказаться, что в строке (столбце) больше нет открытых клеток, а она не закрыта - начальный план недопустимый. Если часть строк (столбцов) не закрыта, то обязательно не закроются и некот. столбцы (строки). Так как задача сбалансированная, то суммарная величина незакрытия строк = =. Чтобы в этом случае завершить построение начального плана, добавляют фиктивного потребителя (столбец) и фиктивного поставщика (строку) с одинаковой потребностью и возможностью . Так как их клетки соответствуют искусственным переменным, которые в разрешимой задаче должны стать равными нулю, затраты в них полагают бесконечно большими (М), а в клетке на пересечении фиктивного столбца с фиктивной строкой – равными нулю. Пропускные способности в фиктивных клетках не лимитируются. В процессе работы алгоритма план станет допустимым, когда все искусственные переменные обнулятся, то есть в юго-восточной клетке перевозка станет равна . После построения начального плана определяются базисные клетки. Если их окажется меньше m+n-1(вырожденный план), то в число базисных включают переменные (клетки), равные нулю или d_ij. На базисных клетках не д строиться замкнутый цикл, иначе клетки добавлены неверно.

bj ai	15	33	25	=3
12	8 3	5 1 5	10 5 7	М
6	5 2	9 4 6	4 7	М
20	12 6	11 2 11	10 3 9	М
35	20 4 15	10 5 10	7 9 7	М 3
=3	М	М 1	М 2	0

Пример: Исходные данные задачи приведены в табл. В клетках слева даны пропускные способности, справа – затраты на перевозки. Задача сбаланс-я. Начальный план строим по правилу минимального элемента, порядок построения показан стрелками. Строка 4 и столбцы 2 и 3 не закрылись:  =3.

Поэтому добавляем фиктивные строку и столбец, и в клетки незакрытых столбцов и строки записываем недостающие перевозки. В результате выполняется баланс по всем строкам и столбцам. Построенный недопустимый начальный план приведен в табл.

Т ак как общее число пунктов равно 9, то базисных переменных должно быть 8. Из сравнения значений x_ij и d_ij находим только 7 базисных переменных (базисные клетки закрашены), то есть план вырожденный. В качестве недостающей базисной клетки возьмем клетку 4,2, в которой значение переменной находится на верхней границе. Ни из каких базисных клеток нельзя построить замкнутый цикл.

Изменения на основном этапе алгоритма: Признак оптимальности в T_d-задаче расширяется. При введении в решение небазисной переменной x_ij=0, то есть ее увеличении, критерий уменьшается при _ij>0 и увеличивается при _ij<0. Если же вводить переменную x_ij=d_ij, а это означает ее уменьшение, то критерий уменьшится при _ij<0 и возрастет при _ij>0. Этот характер изменения критерия показан на рис. Поэтому решение не может быть улучшено, если выполняются условия, составляющие признак оптимальности задачи с ограниченными пропускными способностями:

Е сли условия не выполняются хотя бы для одной небазисной клетки, решение может быть улучшено. Введем два множества:  множество индексов переменных на нижней границе ;  множество индексов переменных на верхней границе . Объединенное множество G=  является множеством индексов перспективных переменных (клеток): введение любой из них приведет к улучшению критерия. Выбор переменной, вводимой в базис, осуществляется на множестве G: При определении ₀ необходимо учитывать обе границы: при вычитании нельзя вычесть больше, чем имеется, а при добавлении недопустимо превысить пропускную способность:

1 . Если , цикл строится на клетке, в которой перевозка равна 0. Новый план получается прибавлением ₀ в четных вершинах цикла и вычитанием в нечетных.

2 . Если , цикл строится на клетке, в которой перевозка равна d_ij. В этом случае вводимая переменная должна уменьшаться. Перемещение по циклу состоит в вычитании ₀ в четных вершинах и прибавлении в нечетных.

В обоих вариантах значение критерия улучшается на величину ₀|_kr|.

Алгоритм решения сбалансированной Т_d-задачи включает следующие шаги:

1. Построение начального плана перевозок. План может получиться как допустимый, так и искусственный (недопустимый).

2. Выделение базисных клеток. Если их < m+n-1, + клетки на границе.

3. Нахождение потенциалов.

4. Вычисление оценок

5. Начало цикла. Определение множества G по матрицам плана и оценок.

6. Проверка признака оптимальности: если G=, переход на шаг 10.

7. Определение вводимой переменной (клетки kr) и построение цикла пересчета.

8. Построение нового плана: вычисление ₀ в зависимости от принадлежности kr и соответствующее перемещение по циклу.

9. Получение матрицы оценок нового плана с помощью преобразования матрицы оценок старого плана (как в Т-задаче). Переход на шаг 5.

10.  Конец. Полученный план является оптимальным, если не содержит запрещенных перевозок (с затратами М).

Когда решение начинается с искусственного плана, то после достижения допустимого решения можно сократить матрицы перевозок и оценок за счет отбрасывания фиктивных столбца и строки.