19. Параметрический анализ коэффициентов линейной формы.

Рассмотрим 3 варианта параметрирования, отличающ. своими возможностями.

1. Коэффициенты критерия изменяются линейно от параметра:

C()=C+V, а вектор V задается аналогично случаю изменения ресурсов.

Задача параметрирования: (С+V)^TXmax AX  B X  0.

ДЗ: B^TUmin A^TU  C+V U  0

О на представляет собой задачу параметрирования вектора ограничений, решение которой может быть получено с помощью параметрического анализа вектора ограничений. В результате найдем диапазон изменения параметра  (0   < ), в котором базис двойственной задачи остается неизменным. В строке Z оптимальной таблицы двойственной задачи находятся переменные прямой задачи. Но значения z_j зависят только от базиса, поэтому в найденном диапазоне  оптимальное решение также не меняется. Изменяться будет только критерий. При достижении критического значения  произойдет смена базиса (оптимальной вершины), а значит, и оптимального решения прямой задачи. Проследить дальнейшее изменение решения можно после повторного решения двойственной задачи с вектором

Такое поведение следует и из геометрических представлений. Изменение коэффициентов линейной формы изменяет наклон линии уровня критерия, но не влияет на допустимое множество. При наличии критических значений  изменение коэффициентов приводит к скачкооб­разному изменению оптимального решения – переходу из вершины в вершину (смежную).

2. Для небазисных переменных можно определить диапазон изменения C_j, в котором оптимальное решение остается неизменным. Пока при изменения C_j все Δ_j 0 оптимальное решение исходной задачи сохраняет свой статус. Так как Δ_j = Z_j-C_j,

то уменьшение C_j не может изменить знак оценки. Поэтому интерес представляет увеличение C_j. Пусть + _j, _j .0. Тогда Δ^’_j = Z_j – C_j - _j = Δ_j - _j  0.

Отсюда следует, что при _j  Δ_j исходное решение остается оптимальным.

3. Этот вариант основан на формуле вычисления относительных оценок в модифицированном симплекс-методе: .

Она позволяет исследовать влияние изменения любых коэффициентов С_j. В общем случае эти коэффициенты являются некоторыми функциями параметра : C_j(). Тогда условия оптимальности запишутся в виде

Здесь обратная матрица соответствует оптимальному базису. Пока при изменении коэффициентов (т.е. ) эти неравенства выполняются, оптимальное решение не изменяется. Значение , при котором хотя бы одно из условий становится равенством, и будет критическим. Практически оно находится так: каждое условие записывается как равенство и определяются его корни; из всех корней выбирается наименьшее положительное. Это и будет

Данный вариант параметрирования пригоден как для линейных, так и нелинейных зависимостей от параметра. Однако в последнем случае его применение ограничено возможностью нахождения корней нелинейного уравнения.

20. Модели транспортных задач и их хар-ка, условия разрешимости. Простейшая транспортная задача (т-задача)

О сновополагающая для всех транспортных задач. Исходные данные: m – число пунктов отправления (ПО); n – число пунктов назначения (ПН); C_ij – затраты на перевозку единицы груза из пункта i в пункт j, ij; a_i – количество груза в пункте i, i (возможности ПО); b_j – потребность в грузе в пункте j, j.

Критерий - суммарные затраты на перевозку. Модель записывается в виде:

Однако такая запись модели корректна только если Задача, в которой - сбалансированная. Любая несбалансированная задача легко приводится к сбалансированной. Поэтому здесь рассмотрим только сбалансированную задачу:

X_ij  0.

Х – матрица перевозок; С – матрица транспортных затрат;

a=(a₁, a₂, .. , a_m) – вектор возм-тей ПО;

b=(b₁, b₂, . . . , b_n) – вектор потр-й ПН.

Особенности задачи:

• Модель содержит две группы условий, размерность которых равна соответствующему числу ПО и ПН; число переменных равно произведению mn;

• Все коэффициенты при переменных в условиях равны единице;

• Каждая переменная входит в условия ровно 2 раза, по 1 в кажд. группу условий;

• Задача имеет простые условия разрешимости, кот. определяются след. теоремой:

Д ля разрешимости Т-задачи необходимо и достаточно, чтобы она была сбалансированной. Теорема справедлива при конечных значениях С_ij.

Доказательство. Необходимость доказывается исходя из того, что задача разрешима. В этом случае все условия задачи выполняются. Просуммируем условия ПО по i, а условия ПН по j:

Так как левые части равенств =, то = и правые. Т.о, в разрешимой задаче всегда имеет место формальный баланс возможностей и потребностей.

Д остаточность. Задача ЛП всегда разрешима, если допустимое множество – выпуклый многогранник, то есть непустое и ограниченное. Ограниченность переменных снизу задана явно, а ограничение сверху следует из конечности всех a_i и b_j, больше которых переменные быть не могут -> множество ограничено. Докажем, что оно непустое. Для этого достаточно найти хотя бы одно доп. решение. Одно из таких решений можно построить, если задача сбалансирована: -->

О но неотрицательно. Остается проверить выполнение основных условий задачи.

 решение удовлетворяет условиям ПО;

решение удовлетворяет условиям ПН ←

Т.о, доп. множество сбаланс. задачи непустое и ограниченное-> задача разрешима.

Условия ПО и ПН – линейно зависимы из-за сбалансированности задачи. Ранг системы равен m+n-1. Такую размерность имеют базис и базисное решение Т-задачи.