18. Параметрический анализ вектора ограничений.

П усть оптимальное решение X^* получено для вектора В. Как будет изменяться оптимальное решение при изменении правой части, заданной параметрически B()? Рассмотрим случай линейной зависимости: B()=B+V, где 0 – параметр, определяющий величину изменения вектора ограничений;

V – вектор размерности m, определяющий направление и относительную скорость изменения компонентов вектора ограничений. Задается ЛПР исходя из прогноза возможных изменений ресурсов. Пример: то есть ожидается одновременное уменьшение 1 и 3 ресурсов и увеличение 2 ресурса. При этом абсолютная величина изменения 1 ресурса в 3 раза, а 2 в полтора раза >, чем 3.

Для любого базисного решения условия задачи AX=B можно записать в виде

A_BX_B+A_HX_H=B, где индексы “B” и “H” обозначают базисные и небазисные векторы (матрицы). Так как небазисные переменные равны нулю, то отсюда следует

A_BX_B=В и, в частности, для оптимального решения A^*_BX^*_B=В. Так как мы исходим из наличия решения X^*, то базисная матрица - неособенная и существует обратная к ней матрица , .

Если заменить в B на B() при =0, то ничего не изменится. При невырожденном оптимальном решении малое изменение B (>0 мало) не изменяет базис: оптимальная вершина хотя и смещается, но образуется теми же ограничениями. Поэтому в данном случае изменяется только оптимальное решение. Оптимальное решение при >0 обозначим X^**. Тогда для малых : , откуда находим изменяемое оптимальное решение или где

Т аким образом, при линейном характере изменений ресурсов оптимальные значения переменных также меняются линейно. Это справедливо до тех пор, пока не происходит смена базиса. В невырожденном решении всегда найдется >0, при котором базис не меняется. При неотрицательном векторе P возрастание  не может привести к уменьшению какой-либо базисной переменной и, значит, к смене базиса. В этом случае формула справедлива для любых >0. Такая ситуация показана на рис, где изменение b₁ и b₂ в направлении стрелок не приводит к смене базиса (вершины, в которой достигается оптимальное решение).

Е сли же среди компонент вектора Р есть отрицательные, то соответствующие базисные переменные с увеличением  будут уменьшаться. Если хотя бы одна из переменных обратится в нуль, то произойдет смена базиса и, следовательно, изменится обратная матрица. Формула с исходными базисным решением и вектором P - несправедлива. На рис. оптимальная вершина сначала образована ограничениями по b₁ и b₂, а затем – ограничениями по b₁ и b₃.

Значение , при котором происходит смена базиса (базисного решения), - критическое. Оно определяется по формуле где p_i – компоненты вектора Р. Исходное решение можно использовать для определения изменяемых решений только в диапазоне . Максимальное изменение правой части

Если диапазон изменения правой части недостаточен, то для его расширения необходимо заново решить задачу с вектором B₁=B+ΔB_max. Получаем новое оптимальное решение, новую обратную матрицу и на их основе снова проводится параметрирование для B()=B₁+₁V. Повторяя эти действия, можно охватить весь желаемый диапазон изменения ресурсов. При этом соотношение компонент (но не знаков!) в векторе V может остаться исходным или измениться (зависимость от параметра  на всем исследованном диапазоне будет кусочно-линейной).