14. Двойственность в лп, построение моделей двойственных задач. Двойственность задач лп

Любой задаче ЛП можно поставить в соответствие другую задачу, называемую сопряженной или двойственной. Исходная задача - прямая. Выделяют общий и симметричный случаи двойственности. Если в прямой задаче все условия представлены в виде неравенств и все переменные ограничены по знаку, то имеет место симметричная пара двойственных задач. Когда в исходной задаче есть равенства и/или переменные, которые не ограничены по знаку, то говорят об общем случае двойственности (симметрия моделей отсутствует).

Запись двойственной задачи в симметричном случае

Пример. Пусть некоторая фирма способна выпускать 3 вида продукции, используя 4 вида ресурсов. Известны произведенная стоимость единицы продукции C_j, норма расхода каждого вида ресурса на единицу продукции A_ij, количество ресурсов b_i.

Модель прямой задачи: Модель ее двойственной задачи:

L=C₁x₁+C₂x₂+C₃x₃  max; =b₁U₁+b₂U₂+b₃U₃+b₄U₄ min;

U₁: A₁₁x₁+A₁₂x₂+A₁₃x₃ b₁; A₁₁U₁+A₂₁U₂+A₃₁U₃+A₄₁U₄ C₁;

U₂: A₂₁x₁+A₂₂x₂+A₂₃x₃ b₂; A₁₂U₁+A₂₂U₂+A₃₂U₃+A₄₂U₄ C₂;

U₃: A₃₁x₁+A₃₂x₂+A₃₃x₃ b₃; A₁₃U₁+A₂₃U₂+A₃₃U₃+A₄₃U₄ C₃;

U₄: A₄₁x₁+A₄₂x₂+A₄₃x₃ b₄; U_i  0.

x_j 0.

– критерий двойственной задачи, U_i – переменные двойственной задачи.

Правила, по которым составлена эта модель, включают 5 пунктов:

1. Если в прямой задаче целевая функция максимизируется, то в двойственной минимизируется, и наоборот.

2. Коэффициенты критерия двойственной задачи образуются из компонентов вектора ограничений прямой задачи.

3. Компоненты вектора ограничений двойственной задачи образуются из коэффициентов линейной формы (критерия) прямой задачи.

4. Матрица условий двойственной задачи образуется транспонированием матрицы условий прямой задачи.

5. Знаки неравенств двойственной задачи обратны знакам неравенств прямой.

Для однозначной записи двойственной модели в прямой задаче на максимум все неравенства следует привести к виду “<=”, а в задаче на минимум – к виду “>=”.

Первые 4 правила действуют как в симметричном, так и в общем случае, а пятое правило – только в случае симметрии. Число условий двойственной задачи = числу переменных прямой задачи, а число переменных двойственной задачи = числу условий прямой. Если для двойственной задачи построить двойственную, то получим прямую.

Пример возникновения симметричной пары двойств. задач - игра 2 лиц с 0 ∑.

Запись двойственной задачи в общем случае

Дополнительные правила записи двойственной задачи получим, сводя несимметричные условия прямой задачи к симметричным.

1.Среди условий прямой задачи есть равенство (k-е условие). Заменив k-е условие-равенство двумя неравенствами



приходим к симметричному случаю. Если новым неравенствам сопоставить неотрицательные двойственные переменные и , то в соответствии с вышеописанными правилами запишем критерий и неравенства двойственной задачи

После вынесения общих множителей за () получаем

Так как и входят в модель только в виде разности, то можно произвести замену и иметь одну двойственную переменную, соответствующую равенству прямой задачи, но при этом она не будет ограничена по знаку.

2.Переменная x_k в прямой задаче не ограничена по знаку. Заменим эту переменную всюду в модели разностью неотрицательных переменных:

Этим переменным в двойственной задаче будут соответствовать 2 неравенства

к оторые эквивалентны равенству

Итак, в общем случае 5-е правило записи двойственной задачи включает 4 пункта, представленные в следующей таблице

Правило	Прямая задача	Двойственная задача
5.1	Переменная xj0	j-е условие 
5.2	Переменная xj не ограничена по знаку	j-е условие =
5.3	i-е условие 	Переменная Ui0
5.4	i-е условие =	Переменная Ui не ограничена по знаку

Эти правила предполагают, что прямая задача записана с критерием на максимум и неравенствами в виде “меньше или равно”. Очевидно, что в симметричном случае из 5-го правила применяются только пункты 5.1.и 5.3.

Пример. Прямая задача: Преобразовав:

L=2x₁+x₂  x₄+3x₅  max; L=2x₁+ x₂  x₄+3x₅  max;

5x₁  7x₂+4x₃+2x₅  8; U₁: 5x₁  7x₂+4x₃ +2x₅  8;

3x₂+6x₃  2x₄  10; U₂: 3x₂ 6x₃ + 2x₄  10;

x₁+4x₂+x₃ 3x₄=5; U_3: x₁+ 4x₂+ x₃  3x₄ =5;

9x₁  x₂+5x₄ 4x₅ 16; U₄: 9x₁ + x₂  5x₄ + 4x₅ 16;

x₁0, x₃0, x₄0. x₁0, x₃0, x₄0.

В соответствии с правилами для общего случая записываем модель двойственной задачи

=8U₁10U₂+5U₃16U₄ min;

5U₁ +U₃  9U₄  2;

7U₁3U₂+4U₃ + U₄=1;

4U₁ 6U₂ + U₃  0;

2U₂  3U₃5U₄   1;

2U₁ + 4U₄=3;

U₁  0, U₂ 0, U₄ 0.