Потенциальное поле сил
Полем сил называют область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует сила, закономерно меняющаяся от точки к точке. Примером может служить поле силы тяжести Земли или поле сил сопротивления в потоке жидкости (газа). Если сила в каждой точке силового поля не зависит от времени, то такое поле называют стационарным. Ясно, что силовое поле, стационарное в одной системе отсчета, в другой системе может оказаться и нестационарным. В стационарном силовом поле сила зависит только от положения частицы.
Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2, зависит, вообще говоря, от пути. Однако среди стационарных силовых полей имеются такие, в которых эта работа не зависит от пути между точками 1 и 2. Этот класс полей, обладая рядом важнейших свойств, занимает особое место в физике. Рассмотрим свойства таких полей.
Введем определение: стационарное силовое поле, в котором работа силы поля на пути между двумя любыми точками не зависит от формы пути, а зависит только от положения этих точек, называется потенциальным, а сами силы - консервативными.
Если это условие не выполняется, то силовое поле не является потенциальным, а силы поля называют неконсервативными. К числу таких сил принадлежит, например, сила трения, так как работа этой силы зависит в общем случае от пути.
Покажем, что в потенциальном поле работа сил поля на любом замкнутом пути равна нулю. Действительно, любой замкнутый путь (рис. 5.5) можно разбить произвольно на две части: 1а2 и 2b1. Так как поле
|
Рис. 5.5. Работа в потенциальном поле сил |
потенциально, то, по условию
С другой стороны, очевидно, что
Поэтому
что и требовалось доказать.
5.)Динамика вращательного движения твердого тела. Момент инерции. Теорема Штейнера.
Рассмотрим твердое тело, как некую систему (рис. 6.1), состоящую из n точек (m1, m2, ..., mn);
– радиус-вектор i-й точки, проведенный из точки О – центра неподвижной инерциальной системы отсчета. Введем обозначения:
– внешняя сила, действующая на i-ю точку
,
– сила действия со стороны k-й точки на i-ю.
Рис.
6.1
Запишем основное уравнение динамики для точки (см. п. 3.6):
Умножим обе части этого уравнения векторно на
:
Знак производной можно вынести за знак векторного произведения (и знак суммы тоже), тогда
Векторное произведение вектора
точки на её импульс называется моментом импульса (количества движения)
этой точки относительно точки О.
|
|
(6.1.1) |
|
.
Эти три вектора образуют правую тройку векторов, связанных «правилом буравчика» (рис. 6.2).
Рис.
6.2
Векторное произведение
,
проведенного в точку приложения силы, на эту силу, называется моментом силы
:
|
|
(6.1.2) |
|
.
Обозначим Li – плечо силы Fi, (рис. 6.3). Учитывая тригонометрическое тождество,
Формула приведения: sin (180°–α) = sin α |
получаем
|
|
(6.1.3) |
|
.
Рис.
6.3
C учетом новых обозначений:
|
|
(6.1.4) |
|
.
Запишем систему n уравнений для всех точек системы и сложим их левые и правые части:
Здесь сумма производных равна производной суммы:
где
– момент импульса системы,
– результирующий момент всех внешних сил относительно точки О. Так как
,
то
Отсюда получим основной закон динамики вращательного движения твердого тела, вращающегося вокруг точки.
|
|
(6.1.5) |
|
.
Момент импульса системы является основной динамической характеристикой вращающегося тела. Сравнивая это уравнение с основным уравнением динамики поступательного движения
Второй закон Ньютона: |
(3.6.1), мы видим их внешнее сходство.
Вращательное движение - движение, при котором все точки тела движутся по окружности некоторого радиуса. Центры всех окружностей лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Плоскости окружностей перпендикулярны к оси вращения.
Вращательное движение изучается на примере модели абсолютно твердого тела.
Абсолютно твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не меняется в процессе движения.
Пример вращательного движения твердого тела
