Момент силы

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 1):

Рис.1

Здесь М - псевдовектор, направление которого совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы (1) где α - угол между r и F; rsinα=l - наименьшее расстояние между линией действия силы и точкой О - плечо силы. Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 2).

Рис.2

Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z. Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью: Найдем выражение для работы при вращении тела (рис.3).

Рис.3

Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, α - угол между радиусом-вектором r и направлением силы. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, которую необходимо затратить на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds=rdφ и работа равна произведению проекции силы на направление с мещения на величину смещения: (2) Учитывая (1), можем записать где Frsinα=Fl=M_z - момент силы относительно оси z. Значит, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA=dT, но

Поэтому

, или

Учитывая, что

получаем (3) Уравнение (3) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство где J - главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

Кинетическая энергия вращения

3.) Импульс. Момент импульса. Их основные свойства и характеристики.

Импульсом тела называют векторную физическую величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается р. Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость: р = mv. Направление вектора импульса р совпадает с направлением вектора скорости тела 0. Единица измерения импульса — кг • м/с.           Для импульса системы тел выполняется закон сохранения, который справедлив только для замкнутых физических систем. В общем случае замкнутой называют систему, которая не обменивается энергией и массой с телами и полями, не входящими в нее. В механике замкнутой называют систему, на которую не действуют внешние силы или действие этих сил скомпенсировано. В этом случае p1 = р2, где pl — начальный импульс системы, а р2 — конечный. В случае двух тел, входящих в систему, это выражение имеет вид m1v1 + m2v2 = m1"v1" + m2"v2" , где ml и m2 — массы тел, а v1 и v2 — скорости до взаимодействия, v1" и v2" — скорости после взаимодействия (рис. 5).           «Момент импульса» или «момент количества движения» является одной из характеристик механического движения. В наиболее простом случае он равен векторному произведению расстояния от центра (или оси) вращения и импульса тела. Изменение момента импульса связано с действием на тело внешних сил, а именно, с наличием момента силы. Если же момент внешних сил равен нулю, что справедливо, например, для центрального поля, то момент импульса тела остается постоянным. В этих условиях действует закон площадей – один из законов Кеплера, согласно которому при вращении тела радиус-вектор за равные промежутки времени «заметает» равные площади. Другими словами, по мере сближения с центром скорость вращения возрастает, а при удалении от него – уменьшается.

В полевой физике также используется понятие момента импульса L, во многом аналогичное классическому понятию, только теперь момент импульса материальных тел выражается через полевые величины согласно соответствующей формуле:

в которой u – скорость тела, R – расстояние от центра (оси) вращения, W – функция его полевой связи со всеми другими телами, c – величина скорости света, M – полевая масса тела, P – его импульс.

В различных частных случаях эта формула приводит к известным выражениям для момента импульса в классической и современной физике. Закон сохранения момента импульса, также как и закон сохранения энергии, связан с возможностью проинтегрировать полевое уравнение движения в общем виде. Собственно, величина, которая остается постоянной в процессе движения и носит название момента импульса.

Однако в полевой физике возникает немало новых режимов движения, в которых классическое понятие момента импульса предстает в совершенно ином свете. Например, в случае движения тела с активной массой, которая меняется в процессе движения, закон площадей преобразуется в закон постоянства линейной скорости вращения. Применение полевой физики к небесной механике показывает, что движение под действием гравитационных сил по эллиптической орбите имеет место только при определенных значениях момента импульса. Если же момент импульса тела выходит за критическое значение, то вопреки современным представлениям гравитационные силы приводят не к эллиптической орбите, а к падению на центр. Отчасти этот эффект полевой физики напоминает механику падения в черную дыру из общей теории относительности.