Основные кинематические величины
Радиус-вектора и вектор перемещения (черные стрелки). Вектора средней и мгновенных скоростей (Зеленые стрелки). Траектория (красная линия)
Разложение ускорения по сопутствующему базису
Перемещение — векторная физическая величина, равная разности радиус-векторов в конечный и начальный моменты времени:
.
Иными словами, перемещение — это приращение радиус-вектора за выбранный промежуток времени.
Средняя скорость — векторная физическая величина равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за который происходит это перемещение:
.
Мгновенная скорость — векторная физическая величина, равная первой производной от радиус-вектора по времени:
.
Характеризует быстроту перемещения материальной точки. Мгновенную скорость можно определить как предел средней скорости при устремлении к нулю промежутка времени, на котором она вычисляется:
.
Единица измерения скорости в системе СИ— м/с, в системе СГС — см/с. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.
Мгновенное ускорение — векторная физическая величина, равная второй производной от радиус-вектора по времени и, соответственно, первой производной от мгновенной скорости по времени:
.
Характеризует быстроту изменения скорости. Единица ускорения в системе СИ— м/с², в системе СГС — см/с². В случае движения в плоскости вектор ускорения можно разложить по сопутствующему базису: на вектор нормального и тангенциального ускорения:
.
Здесь
— единичный вектор нормали,
— единичный вектор касательной. Величина an называется нормальным ускорением и характеризует скорость изменения направления движения. Нормальное ускорение выражается через мгновенную скорость и радиус кривизны траектории:
.
В случае движения по окружности нормальное ускорение называется центростремительным. Как видно из предыдущей формулы, при движении по окружности с постоянной скоростью нормальное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.
Величина aτ называется тангенциальным ускорением и характеризует величину изменения модуля скорости:
Тангенциа́льное ускоре́ние — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости. (Нормальная компонента характеризует изменение направления скорости.) Равно произведению единичного вектора, направленного по скорости движения, на производную модуля скорости по времени. Таким образом, направлено в ту же сторону, что и вектор скорости при ускоренном движении (положительная производная) и в противоположную при замедленном (отрицательная производная).
Обозначается
обычно символом, выбранным для ускорения,
с добавлением индекса, обозначающего
тангенциальную компоненту:
или
,
,
и т.д.
2.) Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Силы в механике. Момент силы.
|
Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета Формулировка первого закона Ньютона такова: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Оба названных состояния отличаются тем, что ускорение тела равно нулю. Поэтому формулировке первого закона можно придать следующий вид: скорость любого тела остается постоянной, пока воздействие на это тело других тел не вызовет ее изменения.
|
Масса и импульс тела Воздействие на данное тело со стороны других тел вызывает изменение его скорости, т. е. сообщает данному телу ускорение. Опыт показывает, что одинаковое воздействие сообщает разным телам разные по величине ускорения. Всякое тело противится попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел называется инертностью. В качестве количественной характеристики инертности используется величина, называемая массой тела.
Чтобы определить
массу некоторого тела, нужно сравнить
ее с массой тела, принятого за эталон
массы. Можно также сравнить массу
данного тела с массой некоторого тела,
уже определенной путем сравнения с
эталоном. Операцию сравнения масс m1
и m2
двух материальных частиц можно
осуществить следующим образом. Поставим
эти частицы в такие условия, чтобы их
взаимодействием с другими телами
можно было пренебречь. Система тел,
взаимодействующих только между собой
и не взаимодействующих с другими
телами, называется замкнутой.
Если заставить эти частицы
взаимодействовать (например, столкнуть),
их скорости изменятся на величины
т.е. более инертное тело (с большей массой) претерпевает меньшее изменение скорости. Приняв во внимание противоположное направление векторов изменения скорости, соотношение (1) можно написать в виде:
В классической механике масса тела считается постоянной величиной, не зависящей от скорости тела. При скоростях, малых по сравнению со скоростью света с=3.108 м/с, это предположение практически выполняется. Воспользовавшись постоянством массы, представим (2) как:
Произведение массы тела на его скорость называется импульсом тела (по-старому - количество движения). Обозначив импульс буквой р, получим:
Определение (4) справедливо для материальных точек и протяженных тел, движущихся поступательно. В случае протяженного тела, движущегося непоступательно, нужно представить тело как совокупность материальных точек с массами
, определить импульсы
этих точек и затем сложить эти импульсы векторно. В результате получится полный импульс тела:
При поступательном движении скорости всех точек тела одинаковы, и (5) переходит в (4). Заменив в (3) произведения массы на скорость импульсами, придем к соотношению
Или
Если изменение какой-то величины равно 0, это означает, что величина остается постоянной. Т.о., мы пришли к выводу, что полный импульс замкнутой системы двух взаимодействующих частиц остается постоянным:
закон сохранения импульса. В релятивистской механике выражение для импульса имеет более сложный вид, чем (4):
В (7) под массой подразумевается так называемая масса покоя тела, с – скорость света. Т.е. (7) можно истолковать так, что масса тела в релятивистской механике не остается постоянной, как в классической, а меняется с ростом скорости как
Определяемая по формуле (8) масса называется релятивистской. |
.
Опыты показывают, что эти изменения
всегда имеют противоположные
направления, т. е. отличаются знаком.
Отношение же модулей изменения
скоростей не зависит от способа и
интенсивности взаимодействия данных
двух тел. Это отношение принимается
равным обратному отношению масс
рассматриваемых тел:
,
.
Второй закон Ньютона Второй закон Ньютона утверждает, что скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе:
и уравнение (9) называется уравнением движения тела. Заменив согласно (4) импульс тела и учтя, что в классической механике масса предполагается постоянной, можно записать, что
Т.о., более распространенная формулировка закона Ньютона: произведение массы тела на его ускорение равно действующей на тело силе. Соотношение (10) вызывает достаточно много споров, и общепринятого толкования этого соотношения до сих пор нет, потому что не существует независимых способов определения массы и силы, входящих в выражение (10). Например, в книге С. Э. Хайкина «Физические основы механики» сказано: «Так как для установления способа измерения массы тела используется тот же второй закон Ньютона (величина массы тела определяется одновременным измерением силы и ускорения), то второй закон Ньютона содержит, с одной стороны, утверждение, что ускорение пропорционально силе, а с другой — определение массы тела как отношения силы, действующей на тело, к сообщаемому этой силой ускорению». Известный американский физики Р. Фейнман по поводу смысла второго закона Ньютона говорит следующее: «Спросим же: в чем смысл ... формулы F=mа? Мы интуитивно понимаем, что такое масса; мы можем также определить ускорение. Поэтому сосредоточимся на новом понятии силы. И здесь ответ тоже весьма прост: если тело ускоряется, значит, на него действует сила... Истинное же содержание законов Ньютона таково: предполагается, что сила обладает независимыми свойствами в дополнение к закону F=mа; но характерные независимые свойства сил не описал полностью ни Ньютон, ни кто-нибудь еще...» (Р. Фейман «Фейнмановские лекции по физике»). |
Второй закон Ньютона Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: Если тело 1 действует на тело 2 с силой F21, то тело 2 также действует на тело 1 с силой F12. |
Третий закон Ньютона Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению, т.е.
Из третьего закона Ньютона вытекает, что силы возникают попарно: всякой силе, приложенной к какому-то телу, можно сопоставить равную ей по величине и противоположно направленную силу, приложенную к другому телу, взаимодействующему с данным. |
