14. Понятие группы и подгруппы, основные свойства группы. Абелева группа. Группа классов вычетов по модулю m.

Группой называется непустое множество G с определенной не нем бинарной алгебраической операцией ·, которая обладает свойствами: 1) ассоциативность: a· (b·c)=(a·b) ·c для любых a,b,c € G; 2) существует нейтральный элемент (единица), то есть такой элемент e € G, что g·e=e·g=g для каждого g € G; 3) каждый элемент g € G имеет обратный, то есть такой элемент h^-1 € G, что g·h^-1=h^-1·g=e. Абелевыми, или коммутативными, называются группы (G, · ) со свойством 4) a·b=b·a для произвольных a,b € G. Всякий линейный код является абелевой группой относительно операции сложения. Подгруппой в группе (G, ·) называется всякое непустое подмножество H элементов множества G, которое в свою очередь является группой относительно той же операции. Обозначим классы вычетов по модулю m следующим образом 0,1,2,3,4(над числами рисовать “_”) и определим их сложение по модулю m=5. 1+2=3, 2+3=0, 2+4=1, эта группа обозначается Z₅ – (аддитивная), группа класса вычетов по m=5, т.е. выполняется обычное сложение и при необходимости берется остаток от деления на 5. Аналогичным образом строится группа классов вычетов по любому модулю m: Z_m.

16. Кольца (подкольца) и поля. Поле Галуа. Правила сложения и умножения в поле с двумя элементами.

Кольцом называют множество С с двумя бинарными операциями, обозначающими символом “+”,”-“, такими, что:

1)R- абелева группа относительно операций сложения.

2)Операция “·” умножения ассоциативна, т.е. для всех a,b,c € R – (a·b) ·c= a·b·c. 3)Выполняются законы дистрибутивности, т.е. для всех a,b,c € R - a(b+c) =ab+ac и (b+c)a=ba+ca.

Если для любых двух элементов кольца справедливо соотношение ab=ba, то кольцо называется коммутативным. Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет коммутативную единицу, т.е. такой элемент e, что ae=ea=a, для любой a € R. Два элемента кольца a≠b, a≠0, b≠0 называется делителями нуля, если ab=0. Кольцо называется областью целостности, если оно является коммутативным кольцом без делителей 0 и с единицей. Коммутативное кольцо называется полем, если его ненулевые элементы образуют группу относительно операции умножения. Иными словами, поле F представляет собой множество, по крайней мере двух элементов, в котором определены 2 операции: сложение и умножение, и выполняется следующие аксиомы: 1)множество элементов образуют коммутативную группу по сложению; 2)множество ненулевых элементов образую коммутативную группу по умножению; 3)для любых трех элементов множества a,b и c выполняется следующее соотношение: a(b+c)=ab+ac, следовательно поле F является коммутативным кольцом с единичным элементом по умножении, в котором каждый ненулевой элемент обладает обратным элементом(дистрибутивный закон). Кольцо классов вычетов Z_m будет областью целостности, а значит и полем, только при простом m. Поле, обозначаемое, как GF(p), состоящее из конечного числа элементов p, называется конечным полем, или полем Галуа. Для любого числа p, которое является степенью простого числа Q существует поле, насчитывающее p элементов. Поле Z_p классов вычетов, где p – простое число, называется полем Галуа порядка p и обозначается GF(p). Поле не может содержать менее 2 элементов. Поскольку в нем должны быть по крайней мере единичный элемент относительно операции сложения(0) и единичный элемент операции умножения(1). Поле включающее только элементы 0 и 1обозначаются GF(2). Правила сложения и умножения в поле с двумя элементами имеет вид:

+	0	1
0	0	1
1	1	0

*	0	1
0	0	0
1	0	1

Двоичные кодовые операции, являющиеся упорядоченными последовательностями из n элементов поля GF(2), рассматриваются в теории кодирования как частный случай последовательностей из n элементов поля GF(p). Подмножеством S кольца R называется подкольцом этого кольца, если оно замкнуто относительно имеющихся операций сложения и умножения и само образует кольцо относительно этих операций. Подкольцо H кольца R называется идеаом этого кольца, если для всех a € H, r € H – ra € H. Идеал H кольца R называется простым, если ab € H → a € H, либо b € H. Идеал H кольца R называется максимальный, если он не содержится ни в какой другом идеале, кроме самого кольца R.