Всебщими для математики являются отношения “больше”, “меньше”, “равно”. Это главные отношения На аснове их в.В.Давыдов предллагает следующую последова-тельность изучения чисел и действий над ними..

1. Сравнение конкретных величин сначала “на глаз”, а затым наложением, при-ложением, переливанием и т.Д.

2. Моделирование величин отрезками. Сравнение величин с помощью отрезков.

Например.:

В Сравнение

Уровень отрезков как воды А Б А ёмкостей воды

в ёмкости Б Б

3.Обозначение отрезков буквами, ихсравнение моделрованием отношений буквами А>Б, Б<А.

4 Уравнивание моделейз отрезков двума способами с записью букывами: А = Б + В –возникновение действия СЛОЖЕНИЯ ; А - Б = В – паявлениее действия ВЫЧИТАНИЯ,

5.Введение мерак по измерению величин. Моделирование величин отрезками. Измерение отрезков меркой и появление последовательности целых неотрицательных чисел..

. . . . . . . . . . . мерка

0 1 2 3 4 5

Уменьшим мерку в 2 раза: новая мерка

6. Переход к меньшей мерке и введение действия умножения.

. . . . . . . . . . .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5•2=10

7. Переход от меньшей к большей мерк и введение действия ДЕЛЕНИЯ : 10 : 2 = 5.

8. С помощью моделирования и перехода к меркам в 10 раз больших (меньших) за данную вводятся также десятичные дроби, проценты и действия над ними.

Теперь рассмотрии учебные задачи по программе 2100

Сначала выделяется всеобщее отношение. Такими отношениями для математик может быть отношение: «часть – целое». Оно является исход-ной «клеточкой» построения системы учебных задач. Вначале изучаются свойства предметов: цвет, форма, размер. Учащиеся выполняют самостоятельные задания на выделение указанных свойств предметов, на установление сходства и различия предметов по определён-ному свойству, на обобщение, аналогию и классификацию предме-тов по этому свойству. Затем учащиеся рассматривают совокупности предметов, обладающих общими признаками, на основе объединения предметов и выделения части их из целой совокупности по определённому свой-ству.

Наконец, решается учебная задача: Как по представленным множествам, а затем и по их мо-делям найти соотношения «целого и его частей»? Из множества-модели выделяются операции, служащие основой для введения понятий сложе-ние и вычитания целых чисел и вводятся услов-ные обозначения: квадрат -- К, прямоугольник – П, геометрическая фигура -Ф, «+» плюс – прибавить. « - » минус -вычесть, «=» ­равно.

К + П = Ф 4 + 2 = 6 По

П + К = Ф 2 + 4 = 6 фор-

Ф - К = П 6 - 4 = 2 ме

Ф - П = К 6 - 2 = 4

Делаются выводы: 5 + 1 = 6 По

- ЦЕЛОЕ ЕСТЬ СУММА ЧАСТЕЙ 1 + 5 = 6 раз-

- ЧТОБЫ НАЙТИ ЧАСТЬ, НАДО 6 - 1 = 5 ме-

ИЗ ЦЕЛОГО ВЫЧЕСТЬ ДРУГУЮ ЧАСТЬ 6 - 5 = 1 рам

- ЦЕЛОЕ – это сумма , уменьшаемое. 3 + 3 = 6 По

ЧАСТЬ –это 1-ое или 2-ое слагаемое, разность 6-3=3 цвету Одновременно с этим эти действия показывают на числовом луче.

!----!---!--- !----!---!----!---!----!--------------------

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Вводится понятие о задаче и оформляется структура её на схеме

УСЛОВИЕ: У Тани , у Саши .

ВОПРОС: Сколько грибов у Тани и Саши вместе?

СХЕМА: Т = 4 С= 2

Т и С ?

ВЫРАЖЕНИЕ: 4 + 2

РЕШЕНИЕ: 4 + 2 = 6 ( гр.)

ОТВЕТ: У Тани и Саши было 6 грибов.

По другим схемам ученикам предлагается сос-тавить задачи, обратные данной.

Т ?

С= 2 Т = 4 С ?

Т и С 6 Т и С 6

После решения простых предлагается самос-тоятельно решить по схемам составные задачи: У Маши, Тани и Кати 8 марок. У Маши 2 марки, а у Тани 3 марки. Сколько марок у Кати?

? 8 8

М Т К М Т К М Т К М Т К !-----!-------!------! !------!-------!------! !-------!------!-------! !-------!-------!----

2 3 ? 2 3 3 2 ? 3 ? 3 3

При изучении операций умножения и деления используется модель - прямоугольник. По ней на-ходится площадь (П) по длине (а) и ширине (в).

а

а · в = П 6 · 3 = 18

3см П в в · а = П 3 · 6 = 18

П : а = в 18 : 6 = 3

6 см П : в = а 18 : 3 = 6

В дальнейшем найденный общий способ реше-ния задачи применяется при решении других задач данного класса на действия умножения и деления.

Рассмотрим теперь теоретико-множествен-ный подход к решению простых залач, принадлежащий СтоляруА.А.

Теоретико-множественной основой ЗАДАЧ НА СЛОЖЕНИЕ целых неотрицательных чисел (ЦНЧ) чвлчется операция объединения А В=С конечных непересе-кающихся множеств. Пусть количество элементов множеств

п(А)=п{х,х,х}=3, п(В)=п{о,о}=2, тогда

п(С)=5, п(А В)=п{х,х,х,о,о}=3+2=5. Теоретико-множественной основой ЗАДАЧ НА ВЫЧИТАНИЕ является операция разности множеств С\А или С\В, где А С и В С.Тогда п(С\А)=5-3=2 и п(С\В)=5-2=3. . Теоретико-множественной основой ЗАДАЧ НА УМНОЖЕНИЕ ЦНЧ является произ-ведение: 1) а•в=а+а+а+...+а (в раз), 2) а•1=а, 3)а•0=0.

Теоретико-множественной основой ЗАДАЧ НА ДЕЛЕНИЕ ЦНЧ является разбиение множества А={х,х, о,о, *,*}, где п(А)=6,

на равночисленные подмножества:

--если получим равное количество элемен-тов каждого подмножества 6:3=2, то это будет ДЕЛЕНИЕ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ

если получим количество частей 6:2=3, то это будет ДЕЛЕНИЕ ПО СОДЕРЖАНИЮ.

ВИДЫ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ . ИХ МЕТОДЫ И ПРИЁМЫ ПОИСКА , ИССЛЕДОВАНИЯ И ПРОВЕРКИ РЕШЕНИЯ .

Параграф 1. Виды текстовых задач.

В курсе математики все текстовые задачи делятся на две большие группы: простые и составные. Именно простые задачи определяют фундамент составных задач. Решение простых за-дач раскрывает смысл арифметических действий, связи между компонентами и результатами ариф-метических действий, зависимость между вели-чинами. В ходе решения простых задач раскрыва-ется смысл понятия задача( определённые условия +вопрос). Простые задачи являются частями сос-тавных задач, а, следовательно, -- фундаментом, на котором строятся умения решать составные зада-чи.

Среди всех задач выделяются учебные задачи, «которые служат для формирования необходи-мых математических знаний, умений и навыков (ЗУНов) у отдельных групп обучаемы. Они направ-лены на изменение личности обучаемого (не знал--знаю, не умел – умею и т.п.» [3] ..

Математические задачи , в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом принято называть текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими и т.д.)

«Текстовой задачей будем называть описание некоторой ситуации (явления, процесса). на естес-твенном и (или) математическом языке с требо-ванием дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации…, либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или опреде-лить вид этого отношения, либо найти последо-вательность этих действий». Такие задачи обычно содержат условие или вопрос(требование).

Существуют разные классификации текстовых задач:

-- по количеству выполненных действий (простые и составные, стоящие из нескольких действий);.

-- по соответствию числа данных и искомых задачи, выделяют задачи определённые, не-определённые и переопределённые;.

-- по фабуле различают задачи: на совместную работу, на движение, на сплавы и смеси, на пере-правы. на покупку и продажу, на проценты, на время, на части и т.п.;

-- по результатам действий классифицируют задачи:

1. на нахождение числа по сумме (разности) и кратному отношению;

2. на нахождение дроби (процента) от числа и числа по его дроби (проценту),

3. на пропорциональное деление;

4. на исключение одного из неизвестных;

5. на среднее арифметическое; на части;

6. задачи, решаемые с конца и др.).

Параграф 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Систему взаимосвязанных условий и требо-ваний называют высказывательной моделью задачи. Выделяют из этих моделей вспомогатель-ные модели, которые обнажают существенные связи и зависимости между величинами, что облегчает поиск решения задачи.

«Решить задачу в широком смысле этого слова) – раскрыть связи между данными и искомыми, заданные условием задачи, опреде-лить последо-ватель-ность применения общих положений ма-тематики (правил, законов, формул и т.п.), выполнить действия над данными задачи, исполь-зуя найденные общие положения, и получить от-вет на требование задачи или до-казать невоз-можность его (требования) выполнения.»

По методам решения задачи выделяются:

• арифметический, .

• алгебраический,

• геометрический,

• логический и

• практической.

«Решить задачу арифметическим методом – это значит найти ответ на требование задачи пос-редством выполнениея арифметических действий над числами».Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решённой, различными способами, если её решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих свя-зей».

«Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требования задачи, сос-тавив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств), Одну и ту же задачу можно решить разными алгебраическими способами. За-дача считается решённой различными способами, если для её решения составлены различные урав-нения или системы уравнений (неравенств), отличающихся друг от друга логикой рассужде-ний». Обычно показывают выбор неизвестного и его обозначения; записывют, как выражаются другие величины через неизвестные и данные чис-ла; а так же определяют соответствуюшие отно-шения, лежащие в основе математической модели уравнения (неравентства) или системы уравнений. Затем находят их решения, их соответствие тре-бованию задачи.

«Решить задачу геометрическим методом – это значит найти ответ на требования задачи, ис-пользуя геометрические построения или свойства геометрических фигур». Одну и ту же задачу можно решить разными геометрическими способами. Задача считается решённой различными способа-ми, если для её решения используются различные построения и свойства геометрических фигур. При этом ответы на требования задачи считываются с чертежа или находятся путём аналитико-синте-тических рассуждений, используя при этом графи-ко-вычислительтные приёмы

“ Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требования задачи, как правило, не выполняя вычислений, а используя только логические рассуждения. При этом строи-тся алгоритм нахождения ответа на требование задачи, который может быть представлен в лю-бой форме: словесно, в виде блок-схемы».

«Решить задачу практическим методом – это значит найти ответ на требования задачи, вы-полнив практические действия с предметами или их копиями (моделями на отрезках, прямоуголь-никах, графах и т.п.)». Не всякая задача решается практически. Задачи на движение транспорта тру-дно воспроизвести практически, а вот на чертежах это сделать легче. Это задачи на взвешивание, на переливание и пересыпание, на переправы реша-ются этим методом. методом.

Параграф 3. ПРИЁМЫ ПОИСКОВОЙ ЛЕЯТЕЛЬНОСТИ

На этапе поиска решения обычно используются приёмы поисковой деятельности учащихся (ПДУ):

1)представление жизненной ситуации, описан-

ной, описанной в задаче;

2) постановка вопросов:что дано, что нужно

найти и т.п.;

3) формулировка задачи в форме, удобной для решения;

4) разбор:от вопроса к данным или от данных к

вопросу задач;

5) разбор задачи по вспомогательной . модели с её

анализом либо синтезом;

6) разбиение задачи на смысловые части—

простые задачи;

7) семантический анализ задачи с записью

решения по действиям, в виде выражения с

записью пояснений или без них..

Параграф 4. СПОСОБЫ ПРОВЕРКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Существует 5 способов проверки решения задачи.

1. Установлением соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными в условии задачи.

Проверка заключается том, что полученные числовые в ответе на вопрос задачи,вводятся в текст задачи и устанавливает, не возникает ли при этом противороечия. Затем выпол-няются арифмети-ческие действия с число-выми значениями величин согласно их связи между собой, которые заданы в в условии задачи. Если при этом получаются числовые данные условия задачи, то делается заключение о верном решении задачи.

2. Составление и решение задачи, обратные данной.

После решения задачи составляется и решается задача, обратная данной.Если при решении в ответе получится значение вели-чины, которое было зано в условии задачи, то можно считать. что она решена правильно.

3.Решение задачи различными способами.

Решение задачи другим способом, если енё решения отличаются связями между данными и и скомомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей, Получив один и тотже результат делают вывод о том.что задача решена верно.

4. Решение задачи различными методами.

Решив задачу различными методами (алгебра-ическим, геометриическим и др.). В том случае, если получен один и тот же результат, то можно сделать вывод, что задача решена верно.

5. Прикидкой (грубой проверкой).

Суть этого способа состоит в установленни границ искомого числа по условию задачи.Этим спо-собом можно грубо оценить результат. При его не входе в установленные границы ответ исключается. Однако даже включение результата в границы, требуется его проверка другими способами.

Параграф 5. СПОСОБЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧИ

.Для формирования полноценных умений решать задачи полезно кроме её решения многими спосо-бами и выбора наиболее рационального из них каждый ученик должен ещё провести исследование задачи, Проанализировать, например, как изменится результат, если изменить:

1.сюжет задачи;

2. условие задачи;

3. вопрос задачи;.

4. её числовые данные;

5. отношения между числовыми данными;

6. величины задачи;

7. зависимости в задаче и т.п.

Исследование изменения одной величины задачи при изменении другой величины, когда третья величина остаётся постоянной позволяет выявлять наличие прямо и обратно пропор-циональной зависимости. Особенно это касается троек величин: цена—количество—стоимость, длина – ширина – площадь прямо--угольника, скорость—время – расстояние; норма выра-ботки—время работы-- общий объём работы и др.

Исследования задачного подхода в обучении являются одной из основных проблем для дидактики, психологии и частных методик. До сих пор объектом исследования этих наук являются процессы решения задач практического по изучаемому предмету харак-,теру, но в особенности учебных задач.

Метад пачатковага навучання матэматыцы праз задачы прапанаваў у ХХ в. С.І. Шохар-Троцкі, а цяпер акадэмік У.І. Загвязінскі перанёс на вывучэнне іншых прадметаў, назваў-шы яго не методыкай, а пошукава-даследчай тэхналогіяй навучання.

. Раней мы вывучал1, што ЗАДАЧА-гэта мэта, дадзеная ў пэўных умовах. Разгледзім задачу, спосаб рашэн-ня якой вучні павінны адкрыць. Гэта праблемная задача: З двух гарадоў, адлегасць паміж якімі 300км, адначасова насустрач адна адной выехалі дзве машыны. Хуткасць руху першай-55км/г, а хуткасць другой- - 45 км/г. Праз колькі гадзін машынысустрэліся?

Умоўныя абазначэнні:S - пройдзеная адлегласць, V₁ , V₂ -хуткасці машын, t-час.

Рашэнне практычнай задачы: 300:(55+45)=2(гадз.). Адказ адносіцца толькі да дадзенай задачы Такіх прак-тычных задач рашаюць 5 -16, каб прыйсці да агульнага спосабу рашэння .

Аднак можна пайсці па больш цяжкаму, але больш эфектыўнаму шляху на аснове эўрыстачнай гутаркі па чарцяжу, калі вучні прыходзяць да вываду: каб знайсці час у задачы на сустрэчны рух, патрэбна падзяліць пройдзеную адлегласць на суму хуткасцей рухаючыхся цел: t=S:(V₁+V₂). Вучні адкрылі агульны спосаб рашэння ўсіх задач на сустрэчны рух (знаходжанне часу руху). Гэта не толькі праблемная, але і вучэбная задача. Адкрыты спосаб рашэння можна перанесці не адну, але на ўсе аналагічныя задачы дадзенага класа, гэта значыць на ўсе —задачы на сустрэчны рух..

. В начальных классах всё большее значение придаётся обучению решения задач. В процессе решения целесообразно подобранных задач у школьников происходит , как формирование осо-знанных и прочных умений находить способы их решения , так и формирования осознанных и проч-ных знаний умений и навыков (ЗУНов) по всему курсу математики [2], [3] [4].

Текстовые задачи, решаемые на основе поиска, обладают огромным потенциалом для формирова-ния научного мировоззрения [1], являются мощ-нейщим средством умственного развития учащихся [4].

В курсе математики все текстовые задачи делятся на две большие группы: простые и составные. Именно простые задачи определяют фундамент составных задач. Решение простых задач раскрывает смысл арифметических дейст-вий, связи между компонентами и результатами арифметических действий, зависимость между величинами. В ходе решения простых задач рас-крывается смысл понятия задача( опреде-лённые условия +вопрос). Простые задачи являются час-тями составных задач, а, следовательно, -- фунда-ментом, на котором строятся умения решать сос-тавные задачи.

Среди всех задач выделяются учебные задачи, «которые служат для формирования необходи-мых математических знаний, умений и навыков (ЗУНов) у отдельных групп обучаемы. Они направ-лены на изменение личности обучаемого (не знал--знаю, не умел – умею и т.п». [3] ..

Математические задачи , в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом принято называть текстовыми (сюжетными, прак-тическими, арифметическими и т.д.)

«Текстовой задачей будем называть описание некоторой ситуации (явления, процесса). на естественном и (или) математическом языке с требованием дать количественную характерис-тику какого-то компонента этой ситуации…, либо установить наличие или отсутствие неко-торого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность этих действий». Такие задачи обычно содержат условие или вопрос (требование).

Систему взаимосвязанных условий и требо-ваний называют высказывательной моделью задачи. Выделяют из этих моделей вспомогатель-ные модели, которые обнажают существенные связи и зависимости между величинами, что облег-чает поиск решения задачи.

В процессе их решения требуется выполнения таких умственных операций, как анализ и синтез, конкретизация и абстрагирование, сравнение и обобщение. Так, при решении любой задачи школьник выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые; намечая план решения он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно воспроизводит условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, строить математическую модель задачи). В процессе реше-ния задачи учащиеся учатся планировать и контролировать свою деятельность, овладевать приёмами самоконтроля, у них воспитывается настойчивость, воля и другие качества личности.

Проблема мониторинга процесса обучения связана с применением тестов в начальном обучении математике приобрела особую акту-альность в связи со внедрением инновацион-ных технологий, которые требуют не только чёткого планирования процесса обучения, но и выявления исходных и итоговых знаний, умений и навыков (ЗУНов), а также осу-ществления постоянного контроля за их усвоением в процессе решения учебных задач, Это значит осуществления оперативного мониторинга самостоятельного поиска ре-шения учебных задач на разном содержании. Такие задачи в отличие от практических требуют нахождения не конкретного ответа, а общего способа решения. Нас интересуют задачи с математическим содержанием именно учебного характера.

Наиболее подходящими для мониторинга являются тесты, позволяющие оперативно вы-являть и корректировать отклонения от запланированного уровня усвоения ЗУНов на каждом этапе и в конце процесса обучения.

Ставится задача их применять:

• для выявления исходных ЗУНов перед изучением темы (входные тесты),

• при формировании новых ЗУНов (формирующие тесты),

• для диагностики процесса овладения ЗУНами обучаемыми (диагностические тесты)

• для проверки ИТОГОВЫХ ЗУНов этого процесса (итоговые тесты).

Чёткое выделение исходных и результатив-ных ЗУНов и тестов к ним позволяет учителю контролировать весь про-цесс обучения, т.е. осуществлять его мониторинг от начала до конца. Если к тому же предоставить каждому ученику возможность самостоятельно рабо-тать над усвоением ЗУНов в зоне своего ближайшего развития, то тогда уже говорят не о методике, а о технологии обучения, которое связывают с самостоятельным решением учебных задач при минимальной эвристи-ческой помощи со стороны.

Тест - это объективное и обычно стандарти-зированное измерение, легко поддающе-еся количественной оценке, статистичес-кой обработке и сравнительному анализу. Тесты состоят из четырёх видов заданий :

1) с завершением ответа,

2) с выбором ответа,

3) на установление последовательности,

4) на соответствие.

Тестовые задания первого вида представляют собой вопрос, на который ученик должен дать краткий ответ, дополнив предложение одним-двумя недостающим сло-вами (открытые тесты), например: Квадрат - это с равными сторонами. Такие задания нетрудно составлять, но трудно оценивать.

Наиболее широкую область применения имеют тестовые задания с многими ответами:

а) с альтернативным выбором: является ли задач с конкретным ответом «купили 24 кг яблок» учебной задачей: (да, нет);

б) с верными и неверными высказываниями: подчеркни нужные слова (вопрос: Сколько однозначных чисел? а) является задачей, 2) не является задачей;

в) с выбором одного правильного из нескольких правдоподобных ответов: выбери правильный ответ: 1) любая задача состоит: 1) из условия и вопроса, 2) только из вопроса, в) только из условия.

Г) на упорядочение или классификацию объектов по определённому признаку: расставь по порядку числа от наименьшего к наибольшему (5м 3дм 1см, 5 031см, 530дм 1см, 53100мм);

д) на установление соответствия между элементами двух групп объектов: запиши число сторон в треугольнике, квадрате, пятиугольнике.

\

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ

КОНСТРУИРОВАНИЯ ТЕСТОВ

1. Определить цели тестирования, выбор подхода к созданию и проверке теста.

2. Анализ содержания учебной дисциплины.

3. Определение структуры теста,форм

заданий, расположения заданий в нём.

4. Выбор длины теста и времени его выполнения.

5. Создание тестовых заданий.

6. Ранжирование заданий в тесте.

7. Экспертиза содержания и формы

тестовых заданий.

9. Переработка содержания и формы заданий

теста по результатам экспертизы.

10. Разработка методики апробационного

тестирования.

11. Разработка инструкций для учеников и для

преподавателей по процедуре тестирования.

12. Проведение апробационного исследования.

13. Сбор эмпирических материалов.

14. Статистическая обработка результатов

выполнения теста.

15. Интерпретация результатов обработки

предтеста в целях улучшения его качества.

16. Коррекция содержания и формы заданий.

17. Создание шкалы для оценки результатов испытуемых по тесту, перевода баллов теста в школьные отметки.

ТРЕБОВАНИЯ К ЗАДАНИЯМ С

МНОЖЕСТВЕННЫМИ ОТВЕТАМИ

1. Избегать неопределённости, двусмысленности и

неясности в формулировках заданий теста.

2. Задания формулировать кратко в виде

предложений с не более, чем 7-8-ью словами.

3. В предложение задания включать не более

одного придаточного предложения.

4. Ответы должны быть предельно краткими.

Повторяющиеся в них слова следует включать

в основную часть теста.

5. Все ответы должны иметь приблизительно

одинаковое количество слов. Правильный

ответ может быть короче неправильных.

6. Номера правильных и неправильных ответов

(дистракторов) следует часто менять.

7. Все дистракторы должны быть правдоподоб-

ными, равнопривлекательными, не подсказы-

вающими ответ по ассоциации с другими.

8. Дистракторы и правильные ответы не должны

быть частично правильными, неработающими.

9. Ответ на задание не должен служить ключом к

правильным ответам на другие задания.

10. Исключать из заданий оценочные суждения,

чьи-либо мнения, слова некоторые,не всегда.

Практикуются также фасетные, т.е. многова-риантные задания, которые могут выбираться учениками по их желанию или желанию учителя. Трудность каждого задания определяется по количеству ошибок, допущенных учащимися. Задание считается тем труднее, чем большее количество ошибок по нему допускают школьники. В тесте должно быть не менее 10-15 заданий.

Сначала тесты проверяются высококва-лифицированными специалистами-экспертами, затем они проходят опытную проверку в разного типа школах. Результаты тестирования тщательно анализируются с применением мето-дов математической статистики. С учётом соб-ранных замечаний тесты совершенствуются, стандартизируются.

Для оценки качества предтеста применяются методы математической статистики. В частности, используются меры центральной тенденции: среднее арифметическое, мода и медиана. Среднее арифме-тическое получен-ных баллов: = (1+2+4+4+4+5+6+6+9+9):10=50:10=5.

Наиболее часто встречающийся балл (мода): Мо = 5.

Середина упорядоченного ряда баллов, которые стоят на 5 и 6-ом месте (медиана) : Ме = (5+6):2 = 5,5.

Определяют также отклонение каждого балла от Х. Вычитают из каждого балла Х , а затем каждую раз-ность возводят в квадрат и результаты складывают.

(1-5), (2-5), (4-5), (4-5), (4-5) (5-5), (6-5), (6-5) ,(9-5) (9-5).

-4, -3, -1, -1, -1, 0, +1, +1, +4, +4.

16, 9, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 16, 16.

16 + 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 16 +16=

= 62. Эту сумму полученных квадратов делим на 10-1=9. Получаем σ² = 62 :9 ≈ 6,89 - среднее квадра-тичное отклонение или дисперсию. Более подробно: (1-5)² + (2-5)² + (4-5)² + (4-5)²+ (4-5)² + + (5-5)²+ (6-5)² + (6-5)² + (9-5)²+ (9-5)² = 62. σ² = 62 : 9 ≈ 6,89.

Извлекая квадратный корень из дисперсии 6,8,получаем приблизительно σ = 2,6.Это стандартное отклонение.

Размах определяется как разность между наиболь-

шим и наименьшим баллом: 9-1= 8.

Формулы среднего арифметического Х, отклонений от него числовых данных х_і::

- среднее арифметическое

- дисперсия

n - количество числовых данных

Если среднее арифметическое, мода и медиана рав-ны или приблизительно равны, то распределение (про-ранжированный ряд баллов теста с указанием количес-тва каждого балла) называют нормальным распределе- нием. Его график имеет вид колоколобразной кривой.

При корректировке результатов предтестов приходится их графическое представление всё время сравнивать

с этой кривой График 1.

Нормальное нулевая ассиметрия

распределение

График 2 График 3 у

отрицательная положительная ассимметрия

Таким образом степень отклонения распределения от нормального распределения оценивается с помощью ассиметрии. Визуально это можно проследить : на графике 1- нормальное распределение с нулевой, на графике 2 - распределение с отрицательной и на графике 3 - с положительной ассиметрией.

С помощью эксцесса на графике в виде полигона или гистограммы можно проследить его островершин-ность (положительный эксцесс) или его пологость - ( отрицательный эксцесс)

Т Е С Т

Что вы знаете о задачах? Умеете ли их решать?

1. Подчеркните условие задачи одной чертой, а вопрос

двумя чертами: Когда отцу было 37 лет, сыну было 3

года, а сейчас сыну в 3 раза меньше, чем отцу.

Сколько лет отцу?

2. Допишите слова. Задача - это цель в______ ______ .

3.Соедините нужные выражения столбцов стрелками

Предметная область 37 лет

Величина задачи настоящий возраст отца

Известные значения время

Неизвестные значения в 3 раза меньше

Отношение задачи настоящий возраст сына

Искомое значение 3 г

4. Дополните по тесту задачи её:

краткую запись…………………………………………

чертёж……………………………………………………

5. Запишите слова начала разбора задачи способом :

аналитическим ……………………………………………… синтетическим…………………………………………......

6. Запишите ответ и решение задачи :

по действиям ………………………………………………

.составлением выражения............................................

7. Сделайте проверку решения разными способами........

8. Решите задачу другими способами...............................

9. Начертите граф-схему разбора задачи.......................

10.Запишите аналогичную задачу...............

ПОИСКОВО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ В 3-4 КЛАССАХ

Для планирвания проекта обучения поиску решения задач на движение сначала устанавливается, какими теоре-тическими сведениями о решении задач на движение должен обладать учащиеся. Общепринятые обозначе-ния: s - расстояние, v - скорость, t - время.

1.Если нужно найти расстояние, то скорость умножают на время движения: s = v * t

2Если нужно найти скорость, то расстояние делят на время движения :v = s : t

3.Если нужно найти время движения, то расстояние делят на скорость: t = s : v.

Задачи на последовательное движение тела на разных участках пути, на сближение двух тел при движении навс-тстречу друг другу При решении такой задачи может пона-добиться скорость сближения двух объектов, о кото-рых говорится в условии. Так как объекты двигаются на-встречу, они сближаются друг с другом со скоростью, рав-ной сумме скоростей каждого: Vсбл. = V₁ + V₂.

Задачи на сближение двух тел при движении в одном на-правлении. При решении этой задачи может понадобиться скорость сближения двух объектов, о которых говорится в условии. Так как объекты двигаются в одном направлении (один догоняет другой), они сближаются друг с другом со скоростью, равной разности их скоростей: Vсбл. = V₁ -- V₂ .

Задачи на удаление двух тел друг от друга при движе-нии в противоположных направлениях. При решении такой задачи может понадобиться скорость удаления двух объектов, о которых говорится в условии. Так как объекты двигаются в противоположные стороны, они удаляются друг от друга со скоростью, равной сумме скоростей каждого: Vуд. = V₁ + V₂ .

Задачи на движение по реке. При решении такой зада-чи нужно учитывать, что при движении по течению к собст-венной скорости катера (лодки и т.п.) добавляется скорость течения реки, а при движении против течения от собствен-ной скорости катера отнимается скорость течения реки:

Vпо теч. = Vс. + Vр., а также против течения Vпр. теч = Vс. - Vр. Нет правила, по которому можно наверняка решить любую такую задачу. Для планирования работы над задачами на движение требуется составление раз-вёрнутой технологической матрицы, прогнозирующей уров-ни усвоения учащимися исходных,(опорных,базовых) зна-ний и умения, исходя из которого затем спроектировать итоговые знания и умения , получаемые на желаемом уровне в результвте самостоятельного поиска и иссле-дования решения учебных задач на движение . Для осуще-ствления мониторинга процесса поиска и исследования разного вида задач на движение потребуется также разра-ботка разного вида тестов и разноуровневых заданий.

ВХОДНЫЕ ЗНАНИЯ. Для плодотворного поиска решающий должен ЗНАТЬ:

алгоритмы выполнения арифметических действий над отвлечёнными и именованными числами,

зависимости между скоростью, временем и расстоянием ;отношения одновременно, навстречу друг другу, в одном направлении, в противоположных направлениях ;

структурные элементы текстовой задачи: условие и вопрос, величины и их значения, отношения и зависимости, решение, проверка решения,

приёмы и планы поисковой деятельности.

Поиск будет успешным при условии владении учащимися ВХОДНЫМИ УМЕНИЯМИ:

1. решения простых задач на нахождение при постоянной третьей величине:

скорости по расстоянию и времени,

времени по расстоянию и скорости,

расстояния по скорости и времени.

2. решения простых задач с величинами скорость, время и расстояние.

3. моделирования отрезками пройденного расстояния, стрелочками скоростей и направлений движения, флажком места встречи.

При установлении целей обучения самостоятельному поиску решения задач на движение учитель должен чётко спланировать какими в результате обучения поиску решения задач на движение должны овладеть знаниями и умениями, . К ним относятся знания :

1. выделение из текста задачи её сюжетного содержания и величин, отношений; условия и вопроса (требования) задачи;

2. приёмы поиска решения задач на движение;

3. способы решения всех видов задач на движение.

Учащиеся должны овладеть умениями:

1. моделироват ь отрезками и графами все видов задач на движение;

2) вести разбор задачи:от вопроса к данным задачи;от данных к вопросу;

3) составлять планы решения задачи: по действиям и составлением выражения ;

5) оформлять решение задачи: по действиям и составлением выражения;

6) проверять решение всех видов задач на движение;

7) выбирать рациональный способ решения;

9) переносить решение в знакомую ситуацию, преобразовывать решение задач из одного вида задач в другой;

10) переносить способ решения в нестандартную ситуацию, например, на движение по течению и против течения реки.

Входные тесты служат выявлению базовых, опорных, исходных знаний, без которых невозможен поиск решения.

№1 Отметь стрелочкой правильные ответы на вопросы:

Пройденное расстояние в тексте задачи всегда обозначается наименованиями: а) километрами, б) метрами, в) сантиметрами; г) аршинами, д) парсеками..

№2.Скорость в тексте задачи обозначается наименованиями:

1) километрами в час; 2) километрами в минуту; 3) метрами в минуту; 4) милями в час.

Диагностические тесты служат для выявления трудностей в поиске решения задач на движение

№1 Соедини стрелочкой величины с формулами для их вычисления:

А) скорость г) S=v*t,

. Б) время д) v= S:t,

В) расстояние е) t = S:v.

Формирующие тесты требуются для проверки знаний и умений обучаемых поиску решения задач на движение

№1.Соедини словосочетания и слова стрелочками. При одновременном движении в обозначенном направлении их скорости:

А) навстречу друг другу г) вычитаются

Б) в одном направлении д) складываются

В) в противоположных направлениях

Итоговые тесты для проверки знаний и умений обучаемых поиску решения задач на движение

№1. Реши задачи. Составь по их текстам обратные задачи.

Из городов Мозырь и Киев, расстояние между которыми 90 км по реке Припять одновременно вышли два теплохода, Первый теплоход шёл со скоростью 20км/ч, а второй- 25 км/ч. Через сколько часов о ни встретились?

.Два всадника выехали одновременно навстречу друг другу из городов Мозырь и Наровля, расстояние между которыми 40км. Всадники встретились через 2ч. Найди скорость первого всадника, если скорость второго 11км/ч.

При обучения поиску решения задач на движение составляется технологическая матрица

№ Учебный материал Уровни Опорные Количество

п\п усвоения знания тестов и заданий

1.Преобразование мер длины, преобразование

скорости и времени (повторение). 4 разрядных чисел 3 10

2.Арифметические действия над арифм. действия над

именованными числами (повторение) 4 отвлечён. числами 2 8

3.Понимание сущности скорости,

времени и расстояния, их

распознавание в задаче (повторение). 3 п.2 2 6

4. Выражение взаимосвязи величин

скорости, времени и расстояния в

виде словесных правил или

формул S=v*t, v= S:t, t = S:v. 4 п.3 2 6

5.Понимание сущности выражений

одновременно, навстречу друг другу, в од-

ном и противоположных направлениях. 3 п.п.3,4 2 6

6.Умение моделировать величины

на чертеже к задаче на движение

(повторение). 4 п.п. 3-5 3 12

7.Умение решать задачи на движение

встречное. 4 п.п.1-6 2 8

8.Умение решать задачи на движение

в одном направлении. 4 п.п. 1-7 2 8

9.Умение решать задачи на движение

в противоположных направлениях. 4 п.п. 1-8 2 8

10.Умение решать задачи на движение те

ПРИЁМЫ,МЕТОДЫ и ПЛАНЫ ПОИСКОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ (ПДУ)

Весь процесс от постановки проблемной задачи и поиска способов её решения до проверки и оценки промежуточных и конечного результатов решения можно разбить на 8 этапов.(Модель вам дана на листах). У решающего прохождение некоторых этапов может вызвать трудности, с целью облегчения преодоления которых применяются специальные приёмы поисковой деятельности учащихся (ПДУ). Приёмы ПДУ носят эвристический характер. Они служат как бы подсказкой для догадки, что нужно делать, чтобы преодолеть возникшее затруднение при прохождении этапа.

Приёмы ПДУ сначала разучиваются отдельно на разных задачах. Затем создаются для каждого вида задач с постепенно усложняющимися решениями, которые предла-гаются для самостоятельной работы на карточках или через компьютер, в памяти которого хранятся жэти серии заданий, а также ещё хранятся тесты для мониторинга процесса поиска решения задач (входные, диагностические, формирующие и итоговые) с целью оказания оперативной помощи обучаемому путём применения нужного приёма ПДУ или эвристической подсказки. При этом ЭВМ не только подсказывает, но и оценивает результаты поиска учащегося, показывая на диаграммах рост успехов в поиске решения с оценкой хода работы и выставлением текущих и итоговой отметки.

Рассмотренные приёмы ПДУ изучаются и применяются сначала разрозненно, а затем объединяются вместе при поста-новке и решении задач определённого класса, образуя своего рода совокупности приёмов ПДУ – методы поисковой деятельности учащихся. Для облегчения их актуализации и выбора приёма, адекватного классу задачи решаемой задачи, составлялются планы поисковой деятельности учащихся, обобщённость которых постепенно нарастает. Эти планы сначала даются в печатной, материализованной форме, затем проговариваются решающими вслух, позже про себя. Постепенно в процессе формирования у школьников учебно-поисковой деятельности приёмы , методы и планы ПДУ, эвристики, обобщаясь постепенно переходят во внутренний план. Обучение им и с помощью их целесообразно осуществлять по теории поэтапного формирования умственных действий

Приведём пример карточки с задачей на поиск способа её решения. Решите задачу по плану.

…. Выберите нужное, вставьте пропущенные числа и буквы в карточке по задаче: С трёх участков собрали 2 т 156 кг картофеля: с первого – 1000 кг, со второго – в 2 раза меньше. Сколько килограммов картофеля собрали с третьего участка?