15. Пространство стратегий и пространство природы в стат играх

Пространство стратегий природы – это полная совокупность внешних условий, в кот приходится принимать решение. По аналогии со страт играми это пространство состояния природы называют чистыми стратегиями природы θ1 θ2 … θn . Точно предсказать момент времени конкр состояния природы мы не можем, нам известен только список состояний природы. Единственная возможность, кот у нас есть – это заявить, что некоторое состояние возникает с той или иной вер-тью. На пространстве состояния природы мы можем задать априорное распределение вер-тей состояния природы ξ(θ). Это априрорное распределение состояний назыв смешанной стратегией состояния природы. В стат играх природа всегда использует смешанные стратегии.

У статистика должен быть некоторый набор действий, кот будет осуществлять в зависимости от ситуации а1… ан. Мн-во действий, кот располагает статистик, наз пространством чистых стратегий статистика. Если нам известно мн-во состояний природы и мн-во состояний статистиков, то возможно определение потерь статистика для различных комбинаций состояния природы и стратегий статистика L(θ, а). Для любой пары (θ, а) задается потеря статистика. Обычно требуется, чтобы потери были определены для всех возможных комбинаций. Потери можно задать аналитически и по аналогии с матрицей.

16. Функция потерь

Функция потерь определяет потери статистика для определенной комбинации состояния природы и действий статистика, но статистик не знает достоверно, в каком состоянии может оказаться природа на момент принятия решения. Статистик знает только пространство смешанных стратегий, т.е. априорное распределение вер-тей состояния. В этих условиях мы можем говорить только о средних потерях статистика

L(ξ, а)= М[L(ξ, а)]=∑ по тета малое э тета бол L(θ, а)ξ(θ)

Статистик заинтересован в минимизации своих потерь, поэтому он должен найти стратегию, кот даст мин потери: R(ξ)= L(ξ, а*)=min(по аэА) L(ξ, а),

Где а* - байесовское действие (наилучшее)

Статистик не обязан ограничиваться только чистыми стратегиями, он может использовать и смешанные стратегии, т.е. выбрать распределение вер-тей на пространстве своих чистых стратегий, т.е. вер-тей, с кот он будет выбирать ту или иную стратегию. Если статистик использует свои смешанные стратегии, то нужно говорить о средних потерях:

L(ξ, h) = M маленькие θ, а [L(θ, а)]=∑ (по θ, а) L(θ, а) ξ (θ ) h (а)

Задачей статистика явл выбор стратегии, кот будет минимизировать потери h*(а)эН (этта)

Среди смешанных стратегий всегда найдется хотя бы одна чистая, кот будет байесовским действием. Если статистик использует смешанные стратегии, то говорят о рандомизации игры.

17. Представление стат игры без эксперимента в виде s-игры

Стат игра без эксперимента – это когда по к/л причинам статистик не может уточнить знание о состоянии природы (мн-во состояний и распределение вер-тей).

Стат и страт игры имеют как сходства, так и различия. Так же, как в страт играх, удобным явл представление стат игры в виде эквивалентной S-игры. В общем виде эквивалентная S-игра – выпуклый многомерный многоугольник, вершины которого опр двумя параметрами: стратегией природы и стратегией статистика. Координаты вершин – это потеря статистика при соответствующей комбинации стратегий природы и статистика. Так же, как и в страт игре, решение игры – это мн-во точек, принадлежащих S*. Вершины многоугольника ассоциируются с чистыми стратегиями статистика. Все остальные точки, кот находятся на сторонах многоугольника или в нем самом – это смешанные стратегии статистика. Следовательно, решений – бесконечное мн-во и нужно определить, где искать решение задачи. Как и в страт играх, в стат вводится понятие допустимых стратегий.

Различия: В стратег играх участники игры действуют рационально. Кроме того, в страт играх можно найти универсальное решение игры (на основе теорем стратег игр). В стат играх природа – субъект нерациональный, универсальное правило создать невозможно. При решении стат игры получается ответ на то, как не надо действовать. Задача статистика состоит в том, чтобы найти такую смешан стратегию, которая минимизировала бы потери статистика при любом состоянии природы.